Descartes-szorzat (halmazok szorzata)

A Descartes-szorzat (más néven kartéziánus szorzat) két halmaz elemeiből rendezett párokat képez. Ha A és B halmazok, akkor az A × B halmaz minden (a,b) rendezett párt tartalmaz, ahol a ∈ A és b ∈ B. A sorrend mindig számít: (a,b) ≠ (b,a), kivéve ha a két halmaz azonos és az elemek egyenlők.

Egyszerű példa

Legyen A = {1,2}, B = {x,y,z}.

|A × B| = |A| · |B| = 2 · 3 = 6. Minden A-beli elem párosul minden B-beli elemmel.

Tulajdonságok

• A Descartes-szorzat általában nem kommutatív: A × B ≠ B × A.
• Asszociatív: (A × B) × C = A × (B × C).
• Az elemszám szorzódik: |A × B| = |A| · |B|.

Alkalmazások

A Descartes-szorzatok alapvetőek a koordináta-geometriában (pontok (x,y)), függvényekben (definiens × értékkészlet) és adatbázisokban (relációk mint Descartes-szorzatok részhalmazai).

• Geometriában: a sík pontjai ℝ × ℝ elemei.
• Logikában: igazságérték-táblák {igaz, hamis} × {igaz, hamis}.
• Informatikában: kulcs-érték párok szótárakban.

Hétköznapi példa

Ha van 2 fagylaltíz (csoki, vanília) és 3 szórás (mogyoró, kókusz, csokiöntet), akkor minden választás egy rendezett pár (íz, szórás). Összesen 2 × 3 = 6 kombináció lehetséges.

Összefoglalás

A Descartes-szorzat segítségével új halmazt képezünk rendezett párokból vagy több elemű sorozatokból. Ez alapvető szerepet játszik a geometriában, a logikában, az informatikában és a kombinatorikában is.

Gyakorló feladat