Függvények mint relációk

Egy függvény speciális reláció két halmaz között. Ha A és B halmazok, akkor egy f függvény hozzárendel minden A-beli elemhez pontosan egy B-beli elemet. Ez azt jelenti, hogy a függvény az A × B Descartes-szorzat egy részhalmaza, de a hozzárendelés egyértelmű.

A definíció szerint: ∀a ∈ A, ∃! b ∈ B úgy, hogy (a,b) ∈ f. Azaz minden a-hoz pontosan egy b tartozik.

Példa

Legyen A = {1,2,3}, B = {a,b,c}, és definiáljuk az f függvényt: f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c. Ez azt jelenti, hogy az f reláció = {(1,a), (2,b), (3,c)}. Ez egy függvény, mert minden A-beli elemhez pontosan egy B-beli elem van hozzárendelve.

Függvény vagy nem függvény?

Nem minden reláció függvény. Például ha g = {(1,a), (1,b), (2,c)}, akkor ez nem függvény, mert az 1 elemhez két különböző kimenet (a és b) is hozzá van rendelve.

Függvények típusai

• Injektív (egyértelmű): különböző bemenetek különböző kimenetre mennek.
• Szürjektív (leképező): minden B-beli elemhez van legalább egy A-beli előkép.
• Bijektív: egyszerre injektív és szürjektív → kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés.

Megoldott példa

Legyen A = {1,2,3,4}, B = {x,y}, és vizsgáljuk meg az alábbi hozzárendelést: h = {(1,x), (2,y), (3,y), (4,y)}.

• Minden A-beli elemhez pontosan egy B-beli elem tartozik → tehát ez egy függvény.
• Ez a függvény nem injektív, mert több különböző A-beli elemhez (pl. 2 és 3) ugyanaz a kimenet (y) tartozik.
• Ez szürjektív, mert B minden elemének (x és y) van előképe.
• Így a függvény szürjektív, de nem injektív, tehát nem bijektív.

Alkalmazások

• Matematika: függvények segítségével írjuk le az összefüggéseket a mennyiségek között.
• Informatika: programokban minden bemenethez egy kimenetet rendelünk.
• Valós élet: egy személyhez tartozó személyi igazolványszám → mindenkihez pontosan egy szám tartozik.

Összefoglalás

A függvény speciális reláció: minden bemenethez pontosan egy kimenet tartozik. Vannak külön típusai (injektív, szürjektív, bijektív), amelyek meghatározzák a függvény tulajdonságait.

Gyakorló feladat