Hatványhalmaz

Egy halmaz hatványhalmaza az összes részhalmazát tartalmazza, beleértve az üres halmazt és önmagát is. Ha A egy halmaz, akkor a hatványhalmazát 𝒫(A)-val jelöljük.

Példák

Legyen A = {1,2}. Ekkor a részhalmazok a következők:

• ∅ (üres halmaz)
• {1}
• {2}
• {1,2}

Így a hatványhalmaz: 𝒫(A) = { ∅, {1}, {2}, {1,2} }.

Általánosan, ha |A| = n, akkor a hatványhalmaz elemszáma 2^n. Ez azért van, mert minden elem vagy szerepel egy részhalmazban, vagy nem.

Tulajdonságok

• Minden halmaz hatványhalmaza tartalmazza az üres halmazt és önmagát.
• |𝒫(A)| = 2^|A|, ahol |A| az A halmaz elemszáma.
• Ha A részhalmaza B-nek, akkor 𝒫(A) részhalmaza 𝒫(B)-nek.

Mindennapi példa

Ha egy szekrényben két pólód van (piros és kék), akkor a lehetséges „pólóválasztások” részhalmazai: nem veszel fel semmit, csak a pirosat, csak a kéket, vagy mindkettőt. Ezek együtt alkotják a hatványhalmazt.

Összefoglalás

A hatványhalmaz segít rendszerezni, hogy milyen kombinációi lehetségesek egy adott halmaz elemeinek. Ez a fogalom kulcsfontosságú a kombinatorikában és az informatikában (pl. összes lehetséges állapot vizsgálata).

Gyakorló feladat