Halmazelméleti paradoxonok

A halmazelméleti paradoxonok olyan ellentmondásos helyzetek, amelyek a naiv halmazelméletben keletkeztek. Ezek a paradoxonok megmutatták, hogy nem lehet minden tetszőleges módon megfogalmazott halmazt létezőnek tekinteni, és szükség van szigorúbb axiómarendszerre (például a Zermelo–Fraenkel halmazelméletre).

Russell-paradoxon

A Russell-paradoxon a következő kérdésből indul: tekintsük azokat a halmazokat, amelyek nem tartalmazzák önmagukat elemként. Legyen R = { A | A ∉ A }. Most tegyük fel a kérdést: R ∈ R?

• Ha R ∈ R, akkor definíció szerint R-nek nem szabadna tartalmaznia önmagát → ellentmondás.
• Ha R ∉ R, akkor definíció szerint R-nek tartalmaznia kellene önmagát → szintén ellentmondás.

Ez az ellentmondás arra mutat rá, hogy a naiv halmazelmélet szabályozatlan, és nem minden „szabály” által megadott halmaz tekinthető érvényesnek.

Borbély-paradoxon

A Russell-paradoxon hétköznapi megfelelője a Borbély-paradoxon: egy faluban a borbély pontosan azokat borotválja meg, akik nem borotválják meg magukat. A kérdés: ki borotválja meg a borbélyt?

• Ha a borbély megborotválja magát, akkor nem szabadna megborotválnia magát.
• Ha nem borotválja meg magát, akkor meg kellene borotválnia magát.

Ez szintén egy ellentmondás, amely jól szemlélteti a Russell-paradoxon lényegét a mindennapi életben.

Tanulság

A paradoxonok rámutattak arra, hogy a halmazelméletet axiómákkal kell szabályozni. Ennek eredményeként alakult ki a Zermelo–Fraenkel halmazelmélet (ZF), amely biztonságosabb keretet ad a modern matematikának.

Megoldott példa

Tegyük fel, hogy egy halmaz így van definiálva: S = { x | x halmaz, és x ∉ x }. Döntsük el, hogy S ∈ S!

• Ha S ∈ S, akkor definíció szerint S nem lehetne eleme önmagának.
• Ha S ∉ S, akkor definíció szerint S-nek tartalmaznia kellene önmagát.

Mindkét eset ellentmondáshoz vezet. Ez pontosan a Russell-paradoxon logikája.

Gyakorló feladat