Relaciones en Conjuntos

Las relaciones en la teoría de conjuntos describen conexiones entre elementos de dos conjuntos. Una relación no es más que un conjunto del producto cartesiano: si A y B son conjuntos, entonces R ⊆ A × B. Esto significa que la relación es la colección de conexiones entre elementos de A y B.

Si (a,b) ∈ R, decimos que 'el elemento a está en relación con b'.

Tipos de Relaciones

• Reflexiva: todo elemento está en relación consigo mismo. Ejemplo: relación '≤' en los enteros.
• Simétrica: si (a,b) ∈ R, entonces (b,a) ∈ R. Ejemplo: relación 'conocido' entre personas.
• Transitiva: si (a,b) ∈ R y (b,c) ∈ R, entonces (a,c) ∈ R. Ejemplo: relación '≤' en los enteros.
• Antisimétrica: si (a,b) ∈ R y (b,a) ∈ R, entonces a = b. Ejemplo: relación '≤' en los enteros.

Si una relación es reflexiva, simétrica y transitiva, se llama relación de equivalencia. Las relaciones de equivalencia particionan un conjunto en clases de equivalencia.

Ejemplo Resuelto

Sea A = {1,2,3}, y definamos una relación R así: R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)}. ¡Examinemos sus propiedades!

• Reflexiva? Sí, porque todo elemento está en relación consigo mismo: (1,1), (2,2), (3,3) ∈ R.
• Simétrica? Sí, porque si (1,2) ∈ R, entonces (2,1) ∈ R.
• Transitiva? Sí, porque en todo caso donde (a,b) ∈ R y (b,c) ∈ R, (a,c) ∈ R se cumple. Verifiquemos: (1,2) ∈ R y (2,1) ∈ R, por lo que (1,1) ∈ R debe cumplirse, lo cual se cumple. Pares adicionales como (2,3) o (3,1) no existen, por lo que no hay otros casos que verificar.
• Antisimétrica? No, porque (1,2) y (2,1) están ambos en ella, sin embargo 1 ≠ 2.

Esta relación es por lo tanto reflexiva, simétrica y transitiva, por lo que es una relación de equivalencia. Las clases de equivalencia: {1,2} y {3}.

Aplicaciones

• Relaciones de ordenamiento: p. ej., ≤, <, que son antisimétricas y transitivas.
• Relaciones de equivalencia: p. ej., 'mismo año de nacimiento' entre personas.
• Bases de datos: modelado de conexiones entre elementos de dos tablas.
• Teoría de grafos: las relaciones se pueden representar como grafos, donde los elementos son vértices, las relaciones son aristas.

Resumen

Las relaciones permiten describir conexiones entre elementos de conjuntos. Las propiedades más importantes: reflexiva, simétrica, transitiva, antisimétrica. Sus combinaciones determinan si la relación es, por ejemplo, un ordenamiento o relación de equivalencia.

Ejercicio de Práctica