Funciones como Relaciones

Una función es una relación especial entre dos conjuntos. Si A y B son conjuntos, entonces una función f asigna a cada elemento en A exactamente un elemento en B. Esto significa que la función es un subconjunto del producto cartesiano A × B, pero la asignación es única.

Por definición: ∀a ∈ A, ∃! b ∈ B tal que (a,b) ∈ f. Es decir, para cada a hay exactamente un b.

Ejemplo

Sea A = {1,2,3}, B = {a,b,c}, y definamos la función f: f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c. Esto significa que la relación f = {(1,a), (2,b), (3,c)}. Esta es una función porque cada elemento en A se asigna exactamente un elemento en B.

Función o No Función?

No toda relación es una función. Por ejemplo, si g = {(1,a), (1,b), (2,c)}, entonces esto no es una función porque el elemento 1 se asigna dos salidas diferentes (a y b).

Tipos de Funciones

• Inyectiva (uno a uno): entradas diferentes van a salidas diferentes.
• Sobreyectiva (sobre): cada elemento en B tiene al menos una preimagen en A.
• Bijectiva: inyectiva y sobreyectiva a la vez → correspondencia uno a uno.

Ejemplo Resuelto

Sea A = {1,2,3,4}, B = {x,y}, y examinemos la siguiente asignación: h = {(1,x), (2,y), (3,y), (4,y)}.

• Cada elemento en A se asigna exactamente un elemento en B → por lo tanto, esta es una función.
• Esta función no es inyectiva porque múltiples elementos diferentes en A (por ejemplo, 2 y 3) se asignan la misma salida (y).
• Es sobreyectiva porque cada elemento en B (x e y) tiene una preimagen.
• Por lo tanto, la función es sobreyectiva pero no inyectiva, así que no bijectiva.

Aplicaciones

• Matemáticas: las funciones se usan para describir relaciones entre cantidades.
• Informática: en programas, asignamos una salida a cada entrada.
• Vida Real: número de identificación personal asignado a una persona → cada persona tiene exactamente un número.

Resumen

Una función es una relación especial: cada entrada tiene exactamente una salida. Hay diferentes tipos (inyectiva, sobreyectiva, bijectiva) que determinan las propiedades de la función.

Ejercicio de Práctica