Producto Cartesiano (Producto de Conjuntos)

El producto cartesiano (también conocido como producto cartesiano) forma pares ordenados de los elementos de dos conjuntos. Si A y B son conjuntos, entonces el conjunto A × B contiene cada par ordenado (a,b) donde a ∈ A y b ∈ B. El orden siempre importa: (a,b) ≠ (b,a), excepto si los dos conjuntos son idénticos y los elementos son iguales.

Ejemplo Simple

Sea A = {1,2}, B = {x,y,z}.

|A × B| = |A| · |B| = 2 · 3 = 6. Cada elemento de A se empareja con cada elemento de B.

Propiedades

• El producto cartesiano no es conmutativo en general: A × B ≠ B × A.
• Es asociativo: (A × B) × C = A × (B × C).
• La cardinalidad se multiplica: |A × B| = |A| · |B|.

Aplicaciones

Los productos cartesianos son fundamentales en geometría de coordenadas (puntos (x,y)), funciones (dominio × codominio) y bases de datos (relaciones como subconjuntos de productos cartesianos).

• En geometría: puntos en el plano son elementos de ℝ × ℝ.
• En lógica: tablas de verdad como {verdadero, falso} × {verdadero, falso}.
• En informática: pares de claves y valores en diccionarios.

Ejemplo Cotidiano

Si hay 2 sabores de helado (chocolate, vainilla) y 3 toppings (nueces, coco, salsa de chocolate), entonces cada elección es un par ordenado (sabor, topping). Total 2 × 3 = 6 combinaciones posibles.

Resumen

El producto cartesiano forma un nuevo conjunto de pares ordenados o secuencias multi-elemento de conjuntos. Juega un rol fundamental en geometría, lógica, informática y combinatoria.

Ejercicio de Práctica