Cardinalidad de Conjuntos

La cardinalidad de un conjunto expresa cuántos elementos contiene. La cardinalidad es una de las características más importantes porque muestra si el conjunto es finito o infinito, y podemos distinguir incluso entre conjuntos infinitos.

La |A| denota el número de elementos en el conjunto A. Si A = {2,4,6,8}, entonces |A| = 4. Este es un caso simple ya que el conjunto contiene un número finito de elementos.

Cardinalidad Finita

La cardinalidad de conjuntos finitos es siempre un número natural específico. Podemos contarlos simplemente. Ejemplos:

• {a, b, c} tiene cardinalidad 3.
• El conjunto vacío ∅ tiene cardinalidad 0.

Cardinalidad Infinita

Los conjuntos infinitos tienen infinitamente muchos elementos. Distinguimos entre infinito numerable (puede listarse en secuencia) e infinito no numerable (no puede listarse).

• Infinito numerable: números naturales ℕ, |ℕ| = ℵ₀ (aleph-null).
• Infinito no numerable: números reales ℝ, |ℝ| = 2^ℵ₀ (continuo).

Infinito Numerable vs. No Numerable

Los conjuntos infinitos numerables pueden ponerse en correspondencia uno a uno con números naturales. Los no numerables no pueden, como los reales (argumento diagonal de Cantor).

• Numerable: enteros ℤ, racionales ℚ.
• No numerable: reales ℝ, conjunto potencia de naturales P(ℕ).

Ejemplos Cotidianos

• Niños en una familia → cardinalidad finita.
• Días en un año → cardinalidad finita (365 o 366).
• Enteros positivos → infinito numerable.
• Números reales entre 0 y 1 → infinito no numerable.

Resumen

La cardinalidad de un conjunto puede ser finita o infinita. Entre los infinitos, distinguimos entre numerable y no numerable infinito. Este concepto es fundamental en matemáticas superiores, como análisis y teoría de conjuntos.

Ejercicio de Práctica