Paradojas de la Teoría de Conjuntos

Las paradojas de la teoría de conjuntos son situaciones contradictorias que surgieron en la teoría ingenua de conjuntos. Estas paradojas mostraron que no se puede considerar existente todo conjunto formulado de manera arbitraria, y se necesita un sistema axiomático más estricto (por ejemplo, la teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel).

Paradoja de Russell

La paradoja de Russell parte de la siguiente pregunta: considera aquellos conjuntos que no se contienen a sí mismos como elementos. Sea R = { A | A ∉ A }. Ahora, plantea la pregunta: ¿R ∈ R?

• Si R ∈ R, entonces por definición, R no debería contenerse a sí mismo → contradicción.
• Si R ∉ R, entonces por definición, R debería contenerse a sí mismo → también contradicción.

Esta contradicción señala que la teoría ingenua de conjuntos está desregulada, y no todo conjunto definido por una 'regla' puede considerarse válido.

Paradoja del Barbero

El equivalente cotidiano de la paradoja de Russell es la paradoja del barbero: en un pueblo, el barbero afeita exactamente a aquellos que no se afeitan a sí mismos. La pregunta: ¿quién afeita al barbero?

• Si el barbero se afeita a sí mismo, entonces no debería afeitarlo.
• Si no se afeita a sí mismo, entonces debería afeitarlo.

Esta también es una contradicción que ilustra bien la esencia de la paradoja de Russell en la vida cotidiana.

Lección

Las paradojas señalaron que la teoría de conjuntos debe regularse con axiomas. Como resultado, surgió la teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel (ZF), que proporciona un marco más seguro para las matemáticas modernas.

Ejemplo Resuelto

Supongamos que un conjunto está definido así: S = { x | x es un conjunto, y x ∉ x }. ¡Decide si S ∈ S!

• Si S ∈ S, entonces por definición, S no puede ser su propio elemento.
• Si S ∉ S, entonces por definición, S debería contenerse a sí mismo.

Ambos casos llevan a una contradicción. Esta es exactamente la lógica de la paradoja de Russell.

Ejercicio de Práctica