Kardinalität von Mengen

Die Kardinalität eines Satzes drückt aus, wie viele Elemente er enthält. Die Kardinalität ist eine der wichtigsten Eigenschaften, weil sie zeigt, ob der Satz endlich oder unendlich ist, und wir können sogar zwischen unendlichen Sätzen unterscheiden.

Die |A| bezeichnet die Anzahl der Elemente in der Menge A. Wenn A = {2,4,6,8}, dann |A| = 4. Das ist ein einfacher Fall, da die Menge eine endliche Anzahl von Elementen enthält.

Endliche Kardinalität

Die Kardinalität endlicher Mengen ist immer eine spezifische natürliche Zahl. Wir können sie einfach zählen. Beispiele:

• {a, b, c} hat Kardinalität 3.
• Die leere Menge ∅ hat Kardinalität 0.

Unendliche Kardinalität

Unendliche Mengen haben unendlich viele Elemente. Wir unterscheiden zwischen abzählbar unendlich (kann in Sequenz aufgelistet werden) und un abzählbar unendlich (kann nicht aufgelistet werden).

• Abzählbar unendlich: natürliche Zahlen ℕ, |ℕ| = ℵ₀ (aleph-null).
• Un abzählbar unendlich: reelle Zahlen ℝ, |ℝ| = 2^ℵ₀ (Kontinuum).

Abzählbar vs. Un abzählbar Unendlich

Abzählbar unendliche Mengen können in Bijektion mit natürlichen Zahlen gebracht werden. Un abzählbar unendliche nicht, wie reelle Zahlen (Cantors Diagonalargument).

• Abzählbar: ganze Zahlen ℤ, rationale Zahlen ℚ.
• Un abzählbar: reelle Zahlen ℝ, Potenzmenge der natürlichen Zahlen P(ℕ).

Alltagsbeispiele

• Kinder in einer Familie → endliche Kardinalität.
• Tage in einem Jahr → endliche Kardinalität (365 oder 366).
• Positive ganze Zahlen → abzählbar unendlich.
• Reelle Zahlen zwischen 0 und 1 → un abzählbar unendlich.

Zusammenfassung

Die Kardinalität eines Satzes kann endlich oder unendlich sein. Unter unendlichen Sätzen unterscheiden wir zwischen abzählbar und un abzählbar unendlich. Dieses Konzept ist grundlegend in höherer Mathematik, wie Analysis und Mengenlehre.

Übungsaufgabe