Potenzmenge

Die Potenzmenge einer Menge enthält alle ihre Teilmengen, einschließlich der leeren Menge und sich selbst. Wenn A eine Menge ist, wird ihre Potenzmenge mit 𝒫(A) bezeichnet.

Beispiele

Sei A = {1,2}. Dann sind die Teilmengen:

• ∅ (leere Menge)
• {1}
• {2}
• {1,2}

Somit: 𝒫(A) = { ∅, {1}, {2}, {1,2} }.

Allgemein, wenn |A| = n, dann hat die Potenzmenge 2^n Elemente. Das liegt daran, dass jedes Element entweder in einer Teilmenge vorkommt oder nicht.

Eigenschaften

• Jede Potenzmenge enthält die leere Menge und sich selbst.
• |𝒫(A)| = 2^|A|, wobei |A| die Kardinalität von A ist.
• Wenn A Teilmenge von B ist, dann ist 𝒫(A) Teilmenge von 𝒫(B).

Alltagsbeispiel

Wenn du zwei T-Shirts im Schrank hast (rot und blau), sind die möglichen 'T-Shirt-Wahlen' Teilmengen: nichts anziehen, nur das rote, nur das blaue oder beide. Diese bilden zusammen die Potenzmenge.

Zusammenfassung

Die Potenzmenge hilft, zu organisieren, welche Kombinationen aus den Elementen einer gegebenen Menge möglich sind. Dieses Konzept ist entscheidend in der Kombinatorik und Informatik (z. B. Untersuchung aller möglichen Zustände).

Übungsaufgabe