Relationen auf Mengen

Relationen in der Mengentheorie beschreiben Verbindungen zwischen Elementen zweier Mengen. Eine Relation ist nichts anderes als eine Menge aus dem kartesischen Produkt: Wenn A und B Mengen sind, dann R ⊆ A × B. Das bedeutet, dass die Relation die Gesamtheit der Verbindungen zwischen Elementen von A und B ist.

Wenn (a,b) ∈ R, sagen wir, dass 'Element a in Relation zu b steht'.

Arten von Relationen

• Reflexiv: Jedes Element steht in Relation zu sich selbst. Beispiel: '≤'-Relation auf den ganzen Zahlen.
• Symmetrisch: Wenn (a,b) ∈ R, dann auch (b,a) ∈ R. Beispiel: 'Bekannter'-Relation unter Menschen.
• Transitiv: Wenn (a,b) ∈ R und (b,c) ∈ R, dann (a,c) ∈ R. Beispiel: '≤'-Relation auf den ganzen Zahlen.
• Antisymmetrisch: Wenn (a,b) ∈ R und (b,a) ∈ R, dann a = b. Beispiel: '≤'-Relation auf den ganzen Zahlen.

Wenn eine Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, wird sie Äquivalenzrelation genannt. Äquivalenzrelationen teilen eine Menge in Äquivalenzklassen auf.

Gelöstes Beispiel

Sei A = {1,2,3}, und definiere eine Relation R so: R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)}. Untersuche ihre Eigenschaften!

• Reflexiv? Ja, weil jedes Element in Relation zu sich selbst steht: (1,1), (2,2), (3,3) ∈ R.
• Symmetrisch? Ja, weil wenn (1,2) ∈ R, dann (2,1) ∈ R.
• Transitiv? Ja, weil in jedem Fall, wo (a,b) ∈ R und (b,c) ∈ R, (a,c) ∈ R gilt. Prüfen wir: (1,2) ∈ R und (2,1) ∈ R, also muss (1,1) ∈ R gelten, was zutrifft. Weitere Paare wie (2,3) oder (3,1) existieren nicht, daher keine anderen Fälle zu prüfen.
• Antisymmetrisch? Nein, weil (1,2) und (2,1) beide enthalten sind, obwohl 1 ≠ 2.

Diese Relation ist daher reflexiv, symmetrisch und transitiv, also eine Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklassen: {1,2} und {3}.

Anwendungen

• Ordnungsrelationen: z. B. ≤, <, die antisymmetrisch und transitiv sind.
• Äquivalenzrelationen: z. B. 'gleiches Geburtsjahr' unter Menschen.
• Datenbanken: Modellierung von Verbindungen zwischen Elementen zweier Tabellen.
• Graphentheorie: Relationen können als Graphen dargestellt werden, wobei Elemente Knoten und Relationen Kanten sind.

Zusammenfassung

Relationen ermöglichen es, Verbindungen zwischen Elementen von Mengen zu beschreiben. Die wichtigsten Eigenschaften: reflexiv, symmetrisch, transitiv, antisymmetrisch. Ihre Kombinationen bestimmen, ob die Relation z. B. eine Ordnungs- oder Äquivalenzrelation ist.

Übungsaufgabe