Funktionen als Relationen

Eine Funktion ist eine spezielle Relation zwischen zwei Mengen. Wenn A und B Mengen sind, dann ordnet eine Funktion f jedem Element in A genau ein Element in B zu. Das bedeutet, dass die Funktion eine Teilmenge des kartesischen Produkts A × B ist, aber die Zuordnung eindeutig ist.

Nach Definition: ∀a ∈ A, ∃! b ∈ B so dass (a,b) ∈ f. Das heißt, zu jedem a gehört genau ein b.

Beispiel

Sei A = {1,2,3}, B = {a,b,c}, und definiere die Funktion f: f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c. Das bedeutet, dass die Relation f = {(1,a), (2,b), (3,c)}. Dies ist eine Funktion, weil jedem Element in A genau ein Element in B zugeordnet ist.

Funktion oder keine Funktion?

Nicht jede Relation ist eine Funktion. Zum Beispiel, wenn g = {(1,a), (1,b), (2,c)}, dann ist dies keine Funktion, weil das Element 1 zwei verschiedene Ausgänge (a und b) zugeordnet bekommt.

Arten von Funktionen

• Injektiv (eindeutig): verschiedene Eingänge gehen zu verschiedenen Ausgängen.
• Surjektiv (überall): jedes Element in B hat mindestens ein Urbild in A.
• Bijektiv: injektiv und surjektiv zugleich → bijektive Abbildung.

Gelöstes Beispiel

Sei A = {1,2,3,4}, B = {x,y}, und untersuche die folgende Zuordnung: h = {(1,x), (2,y), (3,y), (4,y)}.

• Jedes Element in A wird genau einem Element in B zugeordnet → also ist dies eine Funktion.
• Diese Funktion ist nicht injektiv, weil mehrere verschiedene Elemente in A (z. B. 2 und 3) denselben Ausgang (y) haben.
• Sie ist surjektiv, weil jedes Element in B (x und y) ein Urbild hat.
• Somit ist die Funktion surjektiv, aber nicht injektiv, daher nicht bijektiv.

Anwendungen

• Mathematik: Funktionen werden verwendet, um Beziehungen zwischen Größen zu beschreiben.
• Informatik: In Programmen ordnen wir jedem Eingang einen Ausgang zu.
• Alltag: Personalausweisnummer zu einer Person → jeder hat genau eine Nummer.

Zusammenfassung

Eine Funktion ist eine spezielle Relation: jedem Eingang entspricht genau ein Ausgang. Es gibt verschiedene Typen (injektiv, surjektiv, bijektiv), die die Eigenschaften der Funktion bestimmen.

Übungsaufgabe