Paradoxa der Mengentheorie

Paradoxa der Mengentheorie sind widersprüchliche Situationen, die in der naiven Mengentheorie entstanden. Diese Paradoxa zeigten, dass nicht jedes beliebig formulierte Mengensystem als existent betrachtet werden kann, und ein strengeres axiomatisches System benötigt wird (z. B. die Zermelo–Fraenkel-Mengentheorie).

Russell-Paradoxon

Das Russell-Paradoxon beginnt mit der folgenden Frage: betrachte jene Mengen, die sich nicht selbst als Elemente enthalten. Sei R = { A | A ∉ A }. Nun die Frage: Ist R ∈ R?

• Wenn R ∈ R, dann sollte R nach Definition sich selbst nicht enthalten → Widerspruch.
• Wenn R ∉ R, dann sollte R nach Definition sich selbst enthalten → ebenfalls Widerspruch.

Dieser Widerspruch zeigt, dass die naive Mengentheorie unreguliert ist und nicht jede 'Regel'-definierte Menge als gültig betrachtet werden kann.

Barbier-Paradoxon

Das alltägliche Äquivalent zum Russell-Paradoxon ist das Barbier-Paradoxon: In einem Dorf rasiert der Barbier genau jene, die sich nicht selbst rasieren. Die Frage: Wer rasiert den Barbier?

• Wenn der Barbier sich selbst rasiert, dann sollte er sich nicht rasieren.
• Wenn er sich nicht selbst rasiert, dann sollte er sich rasieren.

Dies ist ebenfalls ein Widerspruch, der die Essenz des Russell-Paradoxons im Alltag gut illustriert.

Lehre

Die Paradoxa zeigten, dass die Mengentheorie mit Axiomen reguliert werden muss. Daraus entstand die Zermelo–Fraenkel-Mengentheorie (ZF), die einen sichereren Rahmen für die moderne Mathematik bietet.

Gelöstes Beispiel

Nehmen wir an, eine Menge ist so definiert: S = { x | x ist eine Menge und x ∉ x }. Entscheide, ob S ∈ S!

• Wenn S ∈ S, dann kann S nach Definition nicht sein eigenes Element sein.
• Wenn S ∉ S, dann sollte S nach Definition sich selbst enthalten.

Beide Fälle führen zu einem Widerspruch. Dies ist genau die Logik des Russell-Paradoxons.

Übungsaufgabe