Kartesisches Produkt (Mengenprodukt)

Das kartesische Produkt (auch kartesisches Produkt genannt) bildet geordnete Paare aus den Elementen zweier Mengen. Seien A und B Mengen, dann enthält die Menge A × B jedes geordnete Paar (a,b), wobei a ∈ A und b ∈ B. Die Reihenfolge zählt immer: (a,b) ≠ (b,a), außer wenn die beiden Mengen identisch sind und die Elemente gleich.

Einfaches Beispiel

Sei A = {1,2}, B = {x,y,z}.

|A × B| = |A| · |B| = 2 · 3 = 6. Jedes Element von A wird mit jedem Element von B gepaart.

Eigenschaften

• Das kartesische Produkt ist im Allgemeinen nicht kommutativ: A × B ≠ B × A.
• Es ist assoziativ: (A × B) × C = A × (B × C).
• Die Kardinalität multipliziert sich: |A × B| = |A| · |B|.

Anwendungen

Kartesische Produkte sind grundlegend in der Koordinatengeometrie (Punkte (x,y)), Funktionen (Definitionsmenge × Wertebereich) und Datenbanken (Relationen als Teilmengen kartesischer Produkte).

• In der Geometrie: Punkte in der Ebene sind Elemente von ℝ × ℝ.
• In der Logik: Wahrheitstabellen als {wahr, falsch} × {wahr, falsch}.
• In der Informatik: Paare von Schlüsseln und Werten in Wörterbüchern.

Alltagsbeispiel

Wenn es 2 Eissorten (Schokolade, Vanille) und 3 Toppings (Nüsse, Kokos, Schokoladensauce) gibt, dann ist jede Wahl ein geordnetes Paar (Sorte, Topping). Insgesamt 2 × 3 = 6 Kombinationen möglich.

Zusammenfassung

Das kartesische Produkt bildet eine neue Menge aus geordneten Paaren oder mehr-elementigen Sequenzen aus Mengen. Es spielt eine grundlegende Rolle in Geometrie, Logik, Informatik und Kombinatorik.

Übungsaufgabe