Sistemas de Ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es dos o más ecuaciones conectadas por variables comunes. El objetivo es encontrar las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente.

En el ejemplo anterior, tenemos dos ecuaciones para dos incógnitas (x e y). La solución es un par (x, y) que satisface ambas ecuaciones.

Métodos de Solución

Los sistemas de ecuaciones se pueden resolver con varios métodos. Los más comunes son: método gráfico, método de sustitución, método de eliminación y métodos matriciales.

Método Gráfico

En el método gráfico, graficamos las ecuaciones en un sistema de coordenadas, y el punto de intersección da la solución.

La intersección de la primera recta y la segunda da la solución. Esto ilustra visualmente bien el sistema.

Método de Sustitución

De una ecuación, expresamos una variable y la sustituimos en la otra. Esto deja menos incógnitas y facilita la solución.

De la primera ecuación, y = 5 - x. Sustituyendo: 2x - (5 - x) = 1 → 3x - 5 = 1 → 3x = 6 → x = 2, y = 3.

Método de Eliminación

Transformamos las ecuaciones para que una variable tenga signos opuestos, luego las sumamos, eliminando esa variable.

Sumando: 3x = 6 → x = 2. Sustituyendo, y = 3.

Método Matricial

Para sistemas más grandes, usamos matrices cuadradas. El método más conocido es la eliminación de Gauss o el uso de la inversa de la matriz.

Tipos de Soluciones

• Solución única: si las rectas se intersectan en un punto.
• Sin solución: si las rectas son paralelas y distintas.
• Infinitas soluciones: si las rectas coinciden.

Sistemas de Ecuaciones No Lineales

Los sistemas de ecuaciones pueden incluir no solo rectas, sino también parábolas, círculos u otras curvas. Los puntos de intersección se encuentran usando métodos algebraicos o numéricos.

Aquí, la primera es un círculo, la segunda una recta. Las soluciones son los puntos de intersección del círculo y la recta.

Ejemplos Prácticos

• En economía: intersección de demanda y oferta.
• En transporte: cálculo del punto de encuentro de dos vehículos.
• En física: intersección de trayectorias de dos objetos en movimiento.

Ejercicio de Práctica