Komplex számok

A komplex számok az algebra bővítéseként jöttek létre, hogy olyan egyenleteket is meg tudjunk oldani, amelyeknek nincs valós megoldásuk. Például a -1 négyzetgyöke nem létezik a valós számok halmazán.

Ennek az egyenletnek nincs valós megoldása, ezért bevezetjük a képzetes egységet, amelyet i betűvel jelölünk.

Algebrai alak

Egy komplex szám általános alakja két részből áll: a valós rész és a képzetes rész összege.

Itt a valós rész a, a képzetes rész b, és i a képzetes egység.

Alapműveletek

Két komplex szám összeadása a valós és képzetes részek külön összeadásával történik.

Szorzáskor a valós számokra vonatkozó szabályokat alkalmazzuk, figyelembe véve, hogy i² = -1.

Konjugált és abszolút érték

Egy komplex szám konjugáltja úgy készül, hogy a képzetes rész előjelét megváltoztatjuk.

Az abszolút érték a komplex szám hosszát adja a koordináta-rendszerben, Pitagorasz-tétellel számítható.

Geometriai ábrázolás

A komplex számokat gyakran ábrázoljuk a komplex síkon, ahol a vízszintes tengely a valós részt, a függőleges tengely a képzetes részt mutatja.

Így a z = a + bi komplex szám az (a, b) pontnak felel meg a síkban.

Gyakorlati példák

• Villamosságtan: váltakozó áram számításánál komplex számokat használnak.
• Mérnöki tudományokban: rezgések, hullámok leírására.
• Matematikában: egyenletek megoldására, amelyeknek nincs valós gyökük.

Gyakorló feladat