Bevezetés az algebrába

Az algebra a matematika egyik legfontosabb ága. Lényege, hogy betűket (változókat) használunk számok helyett vagy számokkal együtt. Ez lehetővé teszi általános szabályok és összefüggések leírását, nemcsak konkrét számolásokat.

Mi az a változó?

A változó olyan szimbólum, amely egy ismeretlen vagy tetszőleges értéket képvisel. Leggyakrabban x, y vagy z betűvel jelöljük.

Ebben az egyenletben az x az ismeretlen. Ha x = 4, akkor az egyenlet teljesül: 4 + 3 = 7.

Algebrai kifejezések

Egy algebrai kifejezés számokból, változókból és műveletekből áll. Például a 3x + 5 kifejezésben a 3 a változó együtthatója, az x a változó, az 5 pedig egy konstans.

• Konstans: fix szám, pl. 5.
• Változó: jelölés, pl. x.
• Együttható: a változó előtti szám, pl. 3 az 3x-ben.

Alapműveletek szabályai

Az algebrai műveletek ugyanazokat a szabályokat követik, mint a számokkal végzett műveletek, kiegészítve néhány fontos tulajdonsággal.

• Kommutativitás: a + b = b + a
• Asszociativitás: (a + b) + c = a + (b + c)
• Disztributivitás: a(b + c) = ab + ac

Egyenletek megoldása

Egyenlet akkor teljesül, ha a bal és jobb oldal értéke megegyezik. Az ismeretlen értékét különféle átalakításokkal találhatjuk meg.

Megoldás: vonjunk ki 1-et mindkét oldalból (2x = 6), majd osszunk 2-vel (x = 3).

Polinomok

A polinom olyan algebrai kifejezés, amely több tagból áll, és a változók csak pozitív egész kitevőjű hatványokban szerepelnek. Példa: x² − 5x + 6.

Ez a faktorizálás példája: a polinomot két egyszerűbb tényező szorzatára bontottuk.

Algebra a mindennapokban

• Ha egy termék ára x forint, és kettőt veszel, az összköltség 2x.
• Ha egy autó y km/órával halad, akkor 3 óra alatt 3y km-t tesz meg.
• Ha van 10 cukorkád, és elajándékozol z darabot, akkor 10 − z marad nálad.

Gyakorló feladat