Algebrai egyenlőtlenségek

Az egyenlőtlenség két kifejezés közötti kapcsolatot fejez ki, nem egyenlőséget, hanem nagyságrendi viszonyt. A leggyakoribb jelek: < (kisebb), > (nagyobb), ≤ (kisebb vagy egyenlő), ≥ (nagyobb vagy egyenlő).

Ebben az egyenlőtlenségben azt keressük, milyen x értékek esetén igaz, hogy 2x + 1 nagyobb, mint 7.

Megoldási alaplépések

• Ugyanazokat a műveleteket végezhetjük mindkét oldalon, mint egyenleteknél: összeadás, kivonás, szorzás, osztás.
• Fontos különbség: ha negatív számmal szorzunk vagy osztunk, az egyenlőtlenség iránya megfordul.
• A megoldás gyakran nem egyetlen szám, hanem egy intervallum, vagy több lehetséges értékhalmaz.

Példa: egyszerű egyenlőtlenség

Vonjunk ki 1-et mindkét oldalból: 2x > 6. Osszunk 2-vel: x > 3. Tehát minden 3-nál nagyobb szám megoldás.

Negatívval szorzás vagy osztás

Ha negatív számmal szorzunk vagy osztunk, az egyenlőtlenség iránya megfordul. Ez a legfontosabb szabály, amely különbözik az egyenletek megoldásától.

Osszunk -3-mal: x > -3. Figyeld meg, hogy a < jel >-re változott!

Egyenlőtlenségek megoldásának ábrázolása

Az egyenlőtlenségeket gyakran számegyenesen ábrázoljuk. A nyílt kör (○) azt jelzi, hogy a végpont nincs benne a megoldásban (< vagy >), a zárt kör (●) pedig azt, hogy benne van (≤ vagy ≥).

Mindennapi példák

• Ha egy koncertre jegy 18 év felettieknek szól, akkor a feltétel: életkor ≥ 18.
• Ha egy futóversenyen a szintidő 60 perc, akkor a feltétel: idő ≤ 60.
• Ha egy boltban az ingyenes szállítás csak 10 000 Ft feletti rendelésnél érvényes, akkor a feltétel: összeg > 10000.

Gyakorló feladat