Egyenletrendszerek
Egyenletrendszernek nevezzük két vagy több egyenletet, amelyeket közös változó(k) kapcsolnak össze. A cél az, hogy megtaláljuk azokat az ismeretleneket, amelyek egyszerre mindegyik egyenletet kielégítik.
A fenti példában két ismeretlenre (x és y) két egyenletünk van. A megoldás olyan (x, y) számpár, amely mindkét egyenletet teljesíti.
Megoldási módszerek
Az egyenletrendszereket többféle módszerrel oldhatjuk meg. A leggyakoribbak: grafikus módszer, behelyettesítéses módszer, összeadásos módszer és mátrixos módszerek.
Grafikus módszer
A grafikus módszer során az egyenleteket ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és a metszéspont(ok) adják a megoldást.
Az első egyenes és a második egyenes metszéspontja adja a megoldást. Ez vizuálisan jól szemlélteti az egyenletrendszert.
Behelyettesítéses módszer
Az egyik egyenletből kifejezzük az egyik változót, majd azt behelyettesítjük a másikba. Így kevesebb ismeretlen marad, és könnyebb a megoldás.
Az első egyenletből y = 5 - x. Behelyettesítve: 2x - (5 - x) = 1 → 3x - 5 = 1 → 3x = 6 → x = 2, y = 3.
Összeadásos módszer
Az egyenleteket úgy alakítjuk át, hogy az egyik változó előjellel ellentétes legyen, majd összeadjuk őket, így az egyik változó kiesik.
Összeadás: 3x = 6 → x = 2. Behelyettesítve y = 3.
Mátrixos módszer
Nagyobb rendszerek esetén négyzetes mátrixokat használni. A legismertebb módszer a Gauss-elimináció vagy a mátrix inverzének használata.
Megoldások típusai
- Egyetlen megoldás: ha az egyenesek egy pontban metszik egymást.
- Nincs megoldás: ha az egyenesek párhuzamosak és különbözőek.
- Végtelen sok megoldás: ha az egyenesek egybeesnek.
Nemlineáris egyenletrendszerek
Egyenletrendszerek nemcsak egyeneseket, hanem például parabolát, kört vagy más görbéket is tartalmazhatnak. A metszéspontokat algebrai vagy numerikus módszerekkel találjuk meg.
Itt az első egy kör, a második egy egyenes. A megoldások a kör és az egyenes metszéspontjai.
Gyakorlati példák
- Gazdaságban: kereslet és kínálat metszéspontja.
- Közlekedésben: két jármű találkozási pontjának kiszámítása.
- Fizikában: két mozgó objektum pályájának metszése.
Gyakorló feladat
Az anyagokat átnéztük és ellenőriztük, de hibák továbbra is előfordulhatnak. A tartalom kizárólag oktatási célt szolgál, ezért saját felelősségre használd, és szükség esetén ellenőrizd más forrásokkal is.
✨ Kérdezd Larát — a tanulási partnered
Fedezd fel a személyre szabott tanulási támogatást. Lara elmagyarázza az anyagot, összefoglalja a témákat és megválaszolja a kérdéseidet — az Go csomagtól elérhető.
Lara segít gyorsabban tanulni — kizárólag a ReadyTools Go, Plus és Max tagoknak.
