Egyenletrendszerek

Egyenletrendszernek nevezzük két vagy több egyenletet, amelyeket közös változó(k) kapcsolnak össze. A cél az, hogy megtaláljuk azokat az ismeretleneket, amelyek egyszerre mindegyik egyenletet kielégítik.

A fenti példában két ismeretlenre (x és y) két egyenletünk van. A megoldás olyan (x, y) számpár, amely mindkét egyenletet teljesíti.

Megoldási módszerek

Az egyenletrendszereket többféle módszerrel oldhatjuk meg. A leggyakoribbak: grafikus módszer, behelyettesítéses módszer, összeadásos módszer és mátrixos módszerek.

Grafikus módszer

A grafikus módszer során az egyenleteket ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és a metszéspont(ok) adják a megoldást.

Az első egyenes és a második egyenes metszéspontja adja a megoldást. Ez vizuálisan jól szemlélteti az egyenletrendszert.

Behelyettesítéses módszer

Az egyik egyenletből kifejezzük az egyik változót, majd azt behelyettesítjük a másikba. Így kevesebb ismeretlen marad, és könnyebb a megoldás.

Az első egyenletből y = 5 - x. Behelyettesítve: 2x - (5 - x) = 1 → 3x - 5 = 1 → 3x = 6 → x = 2, y = 3.

Összeadásos módszer

Az egyenleteket úgy alakítjuk át, hogy az egyik változó előjellel ellentétes legyen, majd összeadjuk őket, így az egyik változó kiesik.

Összeadás: 3x = 6 → x = 2. Behelyettesítve y = 3.

Mátrixos módszer

Nagyobb rendszerek esetén négyzetes mátrixokat használni. A legismertebb módszer a Gauss-elimináció vagy a mátrix inverzének használata.

Megoldások típusai

• Egyetlen megoldás: ha az egyenesek egy pontban metszik egymást.
• Nincs megoldás: ha az egyenesek párhuzamosak és különbözőek.
• Végtelen sok megoldás: ha az egyenesek egybeesnek.

Nemlineáris egyenletrendszerek

Egyenletrendszerek nemcsak egyeneseket, hanem például parabolát, kört vagy más görbéket is tartalmazhatnak. A metszéspontokat algebrai vagy numerikus módszerekkel találjuk meg.

Itt az első egy kör, a második egy egyenes. A megoldások a kör és az egyenes metszéspontjai.

Gyakorlati példák

• Gazdaságban: kereslet és kínálat metszéspontja.
• Közlekedésben: két jármű találkozási pontjának kiszámítása.
• Fizikában: két mozgó objektum pályájának metszése.

Gyakorló feladat