Gyökös kifejezések

A gyökös kifejezések olyan algebrai kifejezések, amelyekben gyökvonás szerepel. A leggyakoribb a négyzetgyök, de léteznek köbgyökök és magasabb rendű gyökök is.

A gyökvonás olyan művelet, amely megadja azt a számot, amelyet önmagával megszorozva visszakapjuk az eredeti számot.

Tulajdonságok

Csak nemnegatív számnak van valós négyzetgyöke. Például nincs valós eredménye a -4 négyzetgyökének.

Ha két szám nemnegatív, akkor a szorzatuk négyzetgyöke felbontható a tényezők gyökére.

Nemnegatív számláló és pozitív nevező esetén a tört négyzetgyöke felírható a számláló és a nevező külön gyökeként.

Egy szám n-edik gyöke n-edik hatványra emelve visszaadja az eredeti számot.

Egyszerűsítés

Ha a gyök alatt négyzet vagy magasabb hatvány áll, egyszerűsíteni lehet a kifejezést úgy, hogy a teljes négyzetet vagy magasabb rendű hatványt kiemeljük a gyök elé.

Itt a 25 teljes négyzet, ezért a gyök elé kerülhet, a maradék pedig bent marad a gyök alatt.

Magasabb rendű gyökök esetén is hasonlóan járunk el: a 27 köbszám (3³), így kiemelhető a köbgyök elé.

Nevező gyöktelenítése

A matematikában gyakran elvárás, hogy a nevezőben ne maradjon gyök. Ilyenkor gyöktelenítést végzünk: megszorozzuk a törtet úgy, hogy a nevezőből eltűnjön a gyök.

Ez az eljárás biztosítja, hogy a nevező egyszerű, gyök nélküli alakban maradjon.

Magasabb rendű gyökök

A gyökvonás nem korlátozódik a négyzetgyökre. A köbgyök például a szám harmadik hatványának inverze.

Általánosan: egy szám n-edik gyöke az a szám, amelyet n-edik hatványra emelve visszakapjuk az eredeti értéket.

Gyakorlati példák

A gyökös kifejezések számos területen előfordulnak a matematikán kívül is.

• Geometriában: a négyzet átlója az oldal hossza szorozva négyzetgyök kettővel.
• Fizikában: a Pitagorasz-tétel szerint a derékszögű háromszög átfogója a befogók négyzetösszegének négyzetgyöke: \(\sqrt{a^2 + b^2}\).
• Statisztikában: a szórás számításánál a négyzetgyök mindig megjelenik.

Gyakorló feladat