Bevezetés a logikába

A logika a helyes gondolkodás és következtetés tudománya. Segít eldönteni, hogy egy érvelés érvényes-e, egy bizonyítás helyes-e, vagy egy kijelentés igaz vagy hamis. A matematika és informatika szinte minden területének alapja.

Mi az állítás?

A logikában állításnak (ítéletnek) nevezünk minden olyan kijelentést, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis.

• „2+2=4” → igaz állítás
• „A Nap kék” → hamis állítás
• „Nyisd ki az ablakot!” → nem állítás, mert nincs igazságértéke

Igazságérték

Minden állításhoz hozzárendelünk egy igazságértéket: IGAZ (1) vagy HAMIS (0). Ez a kétértékű logika alapja, amelyet George Boole fejlesztett ki a 19. században. Az igazságértékek segítségével bonyolultabb állításokat is vizsgálhatunk.

A p szimbólum egy állítást jelöl, a ∈ azt fejezi ki, hogy 'eleme', a {0,1} pedig az igazságértékek halmaza (0 = hamis, 1 = igaz). Tehát p ∈ {0,1} azt jelenti, hogy minden állítás igazságértéke csak kétféle lehet: igaz vagy hamis.

Miért fontos a logika?

• Matematikában: minden bizonyítás logikai alapokon nyugszik.
• Informatikában: a programok feltételes utasításai logikai kifejezésekre épülnek.
• Mindennapi életben: döntéseink gyakran következtetéseken alapulnak.

Egyszerű példák

Vegyük az állítást: „Ha esik az eső, akkor vizes lesz az út.” Ez egy logikai összefüggés, amelynek helyességét vizsgálhatjuk igazságértékek alapján. A logika eszközeivel világosan le tudjuk írni a következményeket.

Összefoglalás

A logika alapjai az állítások és azok igazságértékei. Ezekre épül minden további téma: logikai műveletek, igazságtáblák, bizonyítási módszerek, predikátumlogika és kvantorok. Ez a bevezető fejezet megmutatja, hogy miért nélkülözhetetlen a logikai gondolkodás a matematikában és az informatikában.

Gyakorló feladat