Modellek a logikában

A logikában a modellek azt írják le, hogyan értelmezünk egy adott formális nyelvet. A szintaxis a jeleket és szabályokat adja meg, míg a szemantika (modellek) azt, hogy ezek mit jelentenek.

Szintaxis és szemantika

A szintaxis megadja, hogyan épülhet fel egy helyes formula (például p ∧ q, ¬p, p → q). A szemantika pedig azt mondja meg, hogy ezek a formulák milyen igazságértéket kapnak egy adott modellben.

Mi az a modell?

Egy modell egy adott értelmezés: hozzárendeljük a logikai változókhoz az igazságértéket (igaz vagy hamis), illetve elsőrendű logikában az egyedekhez, függvényekhez és relációkhoz jelentést adunk.

Példa: Tegyük fel, hogy p = „Esik az eső”, q = „Nedves az út”. Egy modellben p lehet igaz, q is lehet igaz. Egy másik modellben p igaz, de q hamis. A formula p → q értéke a modell szerint változik.

Modellel való kielégíthetőség

Egy formula kielégíthető, ha van olyan modell, amelyben igaz. Ha nincs ilyen modell, akkor a formula ellentmondás (kontradikció). Ha minden modellben igaz, akkor tautológia.

Ez a jelölés azt mutatja, hogy a φ formula igaz egy modellben.

Példák modellekre

• Propozíciós logika: a változókhoz egyszerűen igaz/hamis értékeket rendelünk.
• Elsőrendű logika: az állandók, függvények és relációk jelentést kapnak (pl. „<” reláció a természetes számokon).
• Matematikai struktúrák: modellek lehetnek a számhalmazok (ℕ, ℤ, ℝ), gráfok, halmazrendszerek.

Miért fontosak a modellek?

• Segítenek megérteni, hogy egy formula mikor igaz vagy hamis.
• Lehetővé teszik logikai rendszerek összehasonlítását.
• Alapjai a matematikai logikának, a formális bizonyításnak és az algoritmusok elemzésének.
• Kapcsolatot teremtenek a tisztán szintaktikus formulák és a való világ közötti értelmezés között.

Összefoglalás

A logikai modellek a szemantika hordozói: megadják, hogyan értelmezünk egy formális nyelvet. Egy formula lehet kielégíthető, tautológia vagy ellentmondás, attól függően, hogy mely modellekben igaz.

Gyakorló feladat