Bizonyítási módszerek

A matematika és a logika egyik legfontosabb része a bizonyítás. Bizonyításnak nevezzük azt a folyamatot, amikor megmutatjuk, hogy egy állítás szükségszerűen igaz. Erre több módszer is létezik.

Közvetlen bizonyítás

Közvetlen bizonyításnál az ismert igaz állításokból logikai lépések sorozatával eljutunk a bizonyítandó állításhoz.

• Premissza: Minden páros szám osztható kettővel.
• Bizonyítandó: 8 osztható kettővel.
• Lépések: 8 páros szám → ezért osztható kettővel.

Kontrapozícióval való bizonyítás

Az „ha p, akkor q” állítás bizonyítható úgy is, hogy az ekvivalens „ha nem q, akkor nem p” formát bizonyítjuk.

Példa: „Ha egy szám osztható 4-gyel, akkor osztható 2-vel.” Kontrapozíció: „Ha egy szám nem osztható 2-vel, akkor nem osztható 4-gyel.”

Indirekt bizonyítás (ellentmondással)

Indirekt bizonyításnál feltesszük, hogy az állítás hamis, majd levezetjük, hogy ez ellentmondásra vezet. Ezért az állításnak igaznak kell lennie.

Példa: Bizonyítsuk, hogy √2 irracionális. Tegyük fel az ellenkezőjét: hogy √2 racionális. Ekkor felírható a/b alakban, ahol a és b egész számok, és nincs közös osztójuk. Levezetve ellentmondás adódik, ezért √2 nem lehet racionális.

Összefoglalás

• Közvetlen bizonyítás: logikai lépésekkel eljutunk a kívánt állításhoz.
• Kontrapozíció: az állítás ekvivalens formáját bizonyítjuk.
• Indirekt bizonyítás: az állítás tagadásából ellentmondást vezetünk le.

Gyakorló feladat