Modelos en la Lógica

En lógica, los modelos describen cómo interpretamos un lenguaje formal dado. La sintaxis proporciona los símbolos y reglas, mientras que la semántica (modelos) define lo que significan.

Sintaxis y Semántica

La sintaxis especifica cómo se puede construir una fórmula correcta (por ejemplo, p ∧ q, ¬p, p → q). La semántica nos dice qué valor de verdad reciben estas fórmulas en un modelo dado.

¿Qué es un Modelo?

Un modelo es una interpretación específica: asignamos valores de verdad (verdadero o falso) a las variables lógicas, y en lógica de primer orden, significados a individuos, funciones y relaciones.

Ejemplo: Supongamos que p = 'Está lloviendo', q = 'La carretera está mojada'. En un modelo, p puede ser verdadero, q verdadero. En otro modelo, p verdadero, pero q falso. El valor de la fórmula p → q varía según el modelo.

Satisfacibilidad con Modelos

Una fórmula es satisfacible si hay un modelo en el que es verdadera. Si no hay tal modelo, la fórmula es una contradicción. Si es verdadera en todos los modelos, es una tautología.

Esta notación muestra que la fórmula φ es verdadera en un modelo.

Ejemplos de Modelos

• Lógica proposicional: simplemente asignamos valores verdadero/falso a las variables.
• Lógica de primer orden: las constantes, funciones y relaciones reciben significados (p. ej., relación '<' en números naturales).
• Estructuras matemáticas: los modelos pueden ser conjuntos de números (ℕ, ℤ, ℝ), grafos, sistemas de conjuntos.

¿Por Qué Son Importantes los Modelos?

• Ayudan a entender cuándo una fórmula es verdadera o falsa.
• Permiten comparar sistemas lógicos.
• Son la base de la lógica matemática, las pruebas formales y el análisis de algoritmos.
• Crean una conexión entre fórmulas puramente sintácticas e interpretaciones del mundo real.

Resumen

Los modelos lógicos son portadores de semántica: especifican cómo interpretamos un lenguaje formal. Una fórmula puede ser satisfacible, una tautología o una contradicción, dependiendo de en qué modelos sea verdadera.

Ejercicio de Práctica