Cuantificadores Anidados

Cuando usamos múltiples cuantificadores en sucesión, hablamos de cuantificadores anidados. En tales casos, es muy importante el orden en que aparecen, porque esto cambia el significado de la afirmación.

Orden de ∀ y ∃

Esto significa: para cada x existe un y que es mayor que él. Esto es verdadero entre los números reales.

Esto significa: existe un y que es mayor que cada x. Esto es falso, porque no hay un número más grande.

Ejemplos de la Diferencia

• “Cada persona tiene un progenitor.” → ∀x ∃y (y es progenitor de x).
• “Hay una persona que es progenitor de todos.” → ∃y ∀x (y es progenitor de x).

Es evidente que el orden da un significado completamente diferente a la afirmación.

Anidamiento con Múltiples Variables

Esta es una afirmación universal en dos variables: para cada x y cada y, x + y = y + x se cumple.

Esto significa: hay tal x que para cada y satisface x·y = y. Esto es verdadero solo para x = 1.

Resumen

El orden de los cuantificadores anidados es crucial. ∀x ∃y y ∃y ∀x significan afirmaciones completamente diferentes. Comprender la precisión lógica requiere su uso correcto.

Ejercicio de Práctica