Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen entstanden als Erweiterung der Algebra, um Gleichungen zu lösen, die keine reellen Lösungen haben. Zum Beispiel existiert die Quadratwurzel von -1 nicht in der Menge der reellen Zahlen.

Diese Gleichung hat keine reelle Lösung, daher führen wir die imaginäre Einheit ein, die mit dem Buchstaben i bezeichnet wird.

Algebraische Form

Die allgemeine Form einer komplexen Zahl besteht aus zwei Teilen: der Summe des Realteils und des Imaginärteils.

Hier ist a der Realteil, b der Imaginärteil und i die imaginäre Einheit.

Grundlegende Operationen

Die Addition zweier komplexer Zahlen erfolgt durch separate Addition der Real- und Imaginärteile.

Bei der Multiplikation wendet man die Regeln für reelle Zahlen an, unter Berücksichtigung, dass i² = -1.

Konjugierte und Betrag

Die Konjugierte einer komplexen Zahl entsteht, indem man das Vorzeichen des Imaginärteils ändert.

Der Betrag gibt die Länge der komplexen Zahl im Koordinatensystem an und wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet.

Geometrische Darstellung

Komplexe Zahlen werden häufig im komplexen Ebene dargestellt, wobei die horizontale Achse den Realteil und die vertikale Achse den Imaginärteil zeigt.

So entspricht die komplexe Zahl z = a + bi dem Punkt (a, b) in der Ebene.

Praktische Beispiele

• Elektrotechnik: Komplexe Zahlen werden bei Berechnungen für Wechselstrom verwendet.
• Ingenieurwissenschaften: Zur Beschreibung von Schwingungen und Wellen.
• Mathematik: Zum Lösen von Gleichungen, die keine reellen Wurzeln haben.

Übungsaufgabe