Faktorisierung Algebraischer Ausdrücke

Das Wesen der Faktorisierung besteht darin, einen komplexeren Ausdruck als Produkt einfacherer Faktoren darzustellen. Dies hilft bei der Lösung von Gleichungen und macht algebraische Ausdrücke transparenter.

Herausziehen Gemeinsamer Faktoren

Wenn jeder Term im Ausdruck einen gemeinsamen multiplikative Faktor hat, können wir diesen herausziehen.

Die 3 ist der gemeinsame Faktor, der Herausziehen ergibt eine einfachere Form.

Bemerkenswerte Identitäten

Bemerkenswerte Identitäten sind häufig genutzte Regeln, die eine schnelle Faktorisierung ermöglichen.

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a - b)² = a² - 2ab + b²
• a² - b² = (a - b)(a + b)

Beispiel: x² - 9 = (x - 3)(x + 3). Dies ist die Formel für Differenz der Quadrate.

Faktorisierung Quadratischer Ausdrücke

Quadratische Ausdrücke werden oft als Produkte von zwei Binomen geschrieben. Beispiel:

Hier sind die zwei Zahlen (2 und 3) so, dass ihr Produkt 6 (die Konstante) und ihre Summe 5 (der Koeffizient von x) ist.

Faktorisierung im Alltag

Obwohl es zunächst theoretisch erscheint, ist Faktorisierung nützlich in Optimierungsaufgaben, Flächen- und Volumenberechnungen oder der Vereinfachung komplexerer Gleichungen.

• Wenn die Fläche eines Rechtecks x² + 5x + 6 ist, zeigt die Faktorisierung (x + 2)(x + 3), sodass die Seiten x + 2 und x + 3 lang sein könnten.
• Die Formel a² - b² tritt oft in Physik und Ingenieurrechnungen auf, wenn Quadrate von Differenzen umgewandelt werden müssen.

Übungsaufgabe