Gleichungssysteme

Ein Gleichungssystem ist zwei oder mehr Gleichungen, die durch gemeinsame Variablen verbunden sind. Das Ziel ist es, die Unbekannten zu finden, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen.

Im obigen Beispiel haben wir zwei Gleichungen für zwei Unbekannte (x und y). Die Lösung ist ein (x, y)-Paar, das beide Gleichungen erfüllt.

Lösungsmethoden

Gleichungssysteme können mit mehreren Methoden gelöst werden. Die häufigsten sind: grafische Methode, Substitutionsmethode, Eliminationsmethode und Matrixmethoden.

Grafische Methode

Bei der grafischen Methode zeichnen wir die Gleichungen in ein Koordinatensystem und der Schnittpunkt gibt die Lösung.

Der Schnittpunkt der ersten Gerade und der zweiten gibt die Lösung. Dies illustriert das System visuell gut.

Substitutionsmethode

Aus einer Gleichung drücken wir eine Variable aus und substituieren sie in die andere. Dadurch bleiben weniger Unbekannte übrig und die Lösung ist einfacher.

Aus der ersten Gleichung y = 5 - x. Substituieren: 2x - (5 - x) = 1 → 3x - 5 = 1 → 3x = 6 → x = 2, y = 3.

Eliminationsmethode

Wir transformieren die Gleichungen so, dass eine Variable gegensätzliche Vorzeichen hat, dann addieren wir sie und eliminieren diese Variable.

Addieren: 3x = 6 → x = 2. Substituieren, y = 3.

Matrixmethode

Für größere Systeme verwenden wir quadratische Matrizen. Die bekannteste Methode ist die Gauss-Elimination oder die Verwendung der Matrixinversen.

Arten von Lösungen

• Eindeutige Lösung: wenn die Geraden sich in einem Punkt schneiden.
• Keine Lösung: wenn die Geraden parallel und verschieden sind.
• Unendlich viele Lösungen: wenn die Geraden zusammenfallen.

Nichtlineare Gleichungssysteme

Gleichungssysteme können nicht nur Geraden, sondern z. B. Parabeln, Kreise oder andere Kurven enthalten. Die Schnittpunkte finden wir mit algebraischen oder numerischen Methoden.

Hier ist die erste ein Kreis, die zweite eine Gerade. Die Lösungen sind die Schnittpunkte des Kreises und der Geraden.

Praktische Beispiele

• In der Wirtschaft: Schnittpunkt von Angebot und Nachfrage.
• Im Verkehr: Berechnung des Treffpunkts von zwei Fahrzeugen.
• In der Physik: Schnittpunkt der Bahnen von zwei beweglichen Objekten.

Übungsaufgabe