Rationale Ausdrücke

Rationale Ausdrücke sind algebraische Brüche, in denen sowohl Zähler als auch Nenner Polynome sind. Der Nenner darf nicht null sein, daher hat jeder rationale Ausdruck einen Definitionsbereich.

Der obige Ausdruck ist definiert, wenn x ≠ 3, da dann der Nenner null wäre.

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge der x-Werte, für die der Nenner nicht null ist. Dies muss immer separat bestimmt werden.

• Wenn der Nenner x - 5 ist, dann x ≠ 5.
• Wenn der Nenner x² - 4 ist, dann x ≠ ±2.
• Wenn der Nenner (x + 1)(x - 7) ist, dann x ≠ -1 und x ≠ 7.

Vereinfachung

Wir vereinfachen rationale Ausdrücke, indem wir Zähler und Nenner faktorisieren und gemeinsame Faktoren kürzen. Es ist wichtig, die ausgeschlossenen Werte weiterhin anzugeben.

Operationen mit Rationalen Ausdrücken

• Addition: auf gemeinsamen Nenner bringen und dann Zähler addieren.
• Subtraktion: auf gemeinsamen Nenner bringen und dann Zähler subtrahieren.
• Multiplikation: Zähler mit Zähler, Nenner mit Nenner multiplizieren.
• Division: mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren.

Beispiel für Multiplikation:

Addition Beispiel

Rationale Ausdrücke in der Praxis

Rationale Ausdrücke treten häufig in Physik, Wirtschaft und Ingenieurrechnungen auf. Zum Beispiel:

• Geschwindigkeit = Strecke / Zeit → wenn Strecke und Zeit mit Polynomen beschrieben werden, ist das Ergebnis ein rationaler Ausdruck.
• Beim Berechnen der Durchschnittsgeschwindigkeit ist der Nenner immer die Gesamtzeit, die nicht null sein darf.
• In chemischen Reaktionsgeschwindigkeitsgesetzen treten oft rationale Verhältnisse auf.

Übungsaufgabe