Logarithmen

Der Logarithmus ist das Inverse der Exponentialfunktion. Er zeigt, wie oft eine Zahl mit sich selbst multipliziert werden muss, um eine andere Zahl zu erhalten.

Hier ist a die Basis (positive Zahl, kann nicht 1 sein), b die zu logarithmierte Zahl (positiv), und c das Ergebnis, d.h. der Exponent.

Wichtige Identitäten

• Für alle a > 0, wenn a ≠ 1:

Diese Identitäten helfen, Logarithmen zu vereinfachen und Gleichungen zu lösen.

Spezielle Logarithmen

Der Logarithmus mit Basis 10 wird als dekadischer Logarithmus bezeichnet, gekennzeichnet durch: log. Der natürliche Logarithmus hat die Basis e (Eulersche Zahl ≈ 2.718), gekennzeichnet durch: ln.

Logarithmische Gleichungen

Beispiel für eine einfache logarithmische Gleichung:

Das bedeutet, dass x die Zahl ist, für die 2³ = x gilt, also x = 8.

Beziehung zu Exponentialfunktionen

Der Logarithmus und die Exponentialfunktion sind Inversen zueinander. Das bedeutet, dass der Logarithmus die Potenzierung 'umkehrt'.

Praktische Anwendungen

• Finanzen: Die Beziehung zwischen Exponential- und Logarithmusfunktion tritt in der Berechnung von Zinseszins auf.
• Wissenschaften: Die pH-Skala in der Chemie basiert auf Logarithmen.
• Informatik: Sie tritt in der Messung der Komplexität von Algorithmen auf (z. B. O(log n)).

Übungsaufgabe