Polynome in der Algebra

Ein Polynom ist eine algebraische Expression, die Potenzen von Variable(n) und Konstanten enthält, die nur durch Addition, Subtraktion und Multiplikation verbunden sind. Der Exponent der Variable ist immer eine nicht-negative ganze Zahl.

Dieses Polynom hat vier Terme: 2x³, -5x², 3x und -7. Die höchste Potenz (3) ist der Grad des Polynoms.

Teile eines Polynoms

• Term: ein Teil des Polynoms, z. B. 2x³.
• Koeffizient: die Zahl vor der Variable, z. B. -5 in -5x².
• Grad: der höchste Exponent, der im Polynom vorkommt.
• Konstanter Term: ein Term, der keine Variable enthält, z. B. -7.

Benennung von Polynomen nach dem Grad

• Grad 0: konstantes Polynom (z. B. 5).
• Grad 1: lineares Polynom (z. B. 3x + 1).
• Grad 2: quadratisches Polynom (z. B. x² - 4).
• Grad 3: kubisches Polynom (z. B. x³ + 2x).
• Grad 4: quartisches Polynom, usw.

Operationen mit Polynomen

Wir können viele Operationen mit Polynomen durchführen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division (mit Rest) und Auswertung an einem gegebenen Punkt.

Bemerkenswerte Polynome

• Binom: Polynom mit zwei Termen, z. B. x + 5.
• Trinom: Polynom mit drei Termen, z. B. x² + 3x + 2.
• Monom: Polynom mit einem einzigen Term, z. B. 7x³.

Polynome im Alltag

• Physikalische Formeln erscheinen oft in Polynomform, z. B. Abstand-Zeit-Beziehungen.
• Wirtschaftliche Modelle (z. B. Kostenfunktionen) verwenden Polynome, um Trends zu beschreiben.
• In der Informatik werden Polynome zur Analyse von Algorithmen verwendet (z. B. Laufzeit als polynomiale Funktion der Eingabegröße).

Übungsaufgabe