Radikale Ausdrücke

Radikale Ausdrücke sind algebraische Ausdrücke, die Wurzeln enthalten. Die häufigste ist die Quadratwurzel, aber es gibt auch Kubikwurzeln und höherwertige Wurzeln.

Die Wurzeloperation gibt die Zahl, die, mit sich selbst multipliziert, die ursprüngliche Zahl zurückgibt.

Eigenschaften

Nur nicht-negative Zahlen haben reelle Quadratwurzeln. Zum Beispiel hat die Quadratwurzel von -4 kein reelles Ergebnis.

Wenn zwei Zahlen nicht-negativ sind, kann die Quadratwurzel ihres Produkts in die Wurzeln der Faktoren zerlegt werden.

Für einen nicht-negativen Zähler und positiven Nenner kann die Quadratwurzel eines Bruchs als separate Wurzeln des Zählers und Nenners geschrieben werden.

Die n-te Wurzel einer Zahl, auf die n-te Potenz erhoben, gibt die ursprüngliche Zahl zurück.

Vereinfachung

Wenn unter der Wurzel ein perfektes Quadrat oder eine höhere Potenz steht, kann der Ausdruck vereinfacht werden, indem das perfekte Quadrat oder die höhere Potenz vor die Wurzel gezogen wird.

Hier ist 25 ein perfektes Quadrat, daher kann es vor die Wurzel gezogen werden, und der Rest bleibt darunter.

Bei höherwertigen Wurzeln gehen wir ähnlich vor: 27 ist eine perfekte Kubikzahl (3³), daher kann sie vor die Kubikwurzel gezogen werden.

Rationalisierung des Nenners

In der Mathematik ist es oft gefordert, dass im Nenner keine Wurzel bleibt. In solchen Fällen rationalisieren wir: multiplizieren den Bruch so, dass die Wurzel aus dem Nenner verschwindet.

Dieses Verfahren stellt sicher, dass der Nenner in einer einfachen, wurzellosen Form bleibt.

Höherwertige Wurzeln

Die Wurzel extraktion ist nicht auf Quadratwurzeln beschränkt. Die Kubikwurzel ist zum Beispiel das Inverse der dritten Potenz.

Im Allgemeinen: die n-te Wurzel einer Zahl ist die Zahl, die, auf die n-te Potenz erhoben, den ursprünglichen Wert zurückgibt.

Praktische Beispiele

Radikale Ausdrücke treten in vielen Bereichen außerhalb der Mathematik auf.

• In der Geometrie: die Diagonale eines Quadrats ist die Seitenlänge multipliziert mit der Quadratwurzel aus 2.
• In der Physik: nach dem Satz des Pythagoras ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der Katheten: \(\sqrt{a^2 + b^2}\).
• In der Statistik: die Quadratwurzel tritt immer in der Berechnung der Varianz auf.

Übungsaufgabe