Einführung in die Algebra

Die Algebra ist einer der wichtigsten Zweige der Mathematik. Ihr Wesen besteht darin, Buchstaben (Variablen) statt oder zusammen mit Zahlen zu verwenden. Dies ermöglicht die Beschreibung allgemeiner Regeln und Zusammenhänge, nicht nur spezifische Berechnungen.

Was ist eine Variable?

Eine Variable ist ein Symbol, das einen unbekannten oder beliebigen Wert darstellt. Am häufigsten werden die Buchstaben x, y oder z verwendet.

In dieser Gleichung ist x die Unbekannte. Wenn x = 4, gilt die Gleichung: 4 + 3 = 7.

Algebraische Ausdrücke

Ein algebraischer Ausdruck besteht aus Zahlen, Variablen und Operationen. Zum Beispiel ist in dem Ausdruck 3x + 5 die 3 der Koeffizient der Variable, x die Variable und 5 eine Konstante.

• Konstante: feste Zahl, z. B. 5.
• Variable: Symbol, z. B. x.
• Koeffizient: die Zahl vor der Variable, z. B. 3 in 3x.

Regeln der Grundoperationen

Algebraische Operationen folgen denselben Regeln wie Operationen mit Zahlen, ergänzt um einige wichtige Eigenschaften.

• Kommutativität: a + b = b + a
• Assoziativität: (a + b) + c = a + (b + c)
• Distributivität: a(b + c) = ab + ac

Lösen von Gleichungen

Eine Gleichung gilt, wenn der linke und rechte Seite denselben Wert haben. Den unbekannten Wert können wir mit verschiedenen Transformationen finden.

Lösung: subtrahiere 1 von beiden Seiten (2x = 6), dann teile durch 2 (x = 3).

Polynome

Ein Polynom ist ein algebraischer Ausdruck, der aus mehreren Termen besteht, wobei die Variablen nur in positiven ganzzahligen Potenzen vorkommen. Beispiel: x² − 5x + 6.

Dies ist ein Beispiel für Faktorisierung: das Polynom wird in das Produkt zweier einfacherer Faktoren zerlegt.

Algebra im Alltag

• Wenn der Preis eines Produkts x Forint beträgt und du zwei kaufst, beträgt die Gesamtkosten 2x.
• Wenn ein Auto y km/h fährt, legt es in 3 Stunden 3y km zurück.
• Wenn du 10 Bonbons hast und z verschenkst, bleiben dir 10 − z.

Übungsaufgabe