Algebraische Ungleichungen

Eine Ungleichung drückt eine Beziehung zwischen zwei Ausdrücken aus, keine Gleichheit, sondern eine Größenordnung. Die häufigsten Zeichen sind: < (kleiner), > (größer), ≤ (kleiner oder gleich), ≥ (größer oder gleich).

In dieser Ungleichung suchen wir, für welche x-Werte gilt, dass 2x + 1 größer als 7 ist.

Grundlegende Lösungsschritte

• Wir können dieselben Operationen auf beiden Seiten durchführen wie bei Gleichungen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division.
• Wichtiger Unterschied: Wenn wir mit einer negativen Zahl multiplizieren oder dividieren, kehrt sich die Ungleichungsrichtung um.
• Die Lösung ist oft keine einzelne Zahl, sondern ein Intervall oder mehrere mögliche Werte-Mengen.

Beispiel: Einfache Ungleichung

Subtrahiere 1 von beiden Seiten: 2x > 6. Teile durch 2: x > 3. Also ist jede Zahl größer als 3 eine Lösung.

Multiplikation oder Division mit Negativem

Wenn wir mit einer negativen Zahl multiplizieren oder dividieren, kehrt sich die Ungleichungsrichtung um. Dies ist die wichtigste Regel, die sich von der Lösung von Gleichungen unterscheidet.

Teile durch -3: x > -3. Beachte, dass das < Zeichen zu > geworden ist!

Darstellung der Lösungen von Ungleichungen

Ungleichungen werden oft auf einer Zahlengeraden dargestellt. Ein offener Kreis (○) zeigt an, dass der Endpunkt nicht enthalten ist (< oder >), ein geschlossener Kreis (●) zeigt an, dass er enthalten ist (≤ oder ≥).

Alltägliche Beispiele

• Wenn ein Konzertticket für Personen ab 18 Jahren ist, lautet die Bedingung: Alter ≥ 18.
• Wenn ein Laufwettbewerb eine Zeitgrenze von 60 Minuten hat, lautet die Bedingung: Zeit ≤ 60.
• Wenn ein Laden kostenlosen Versand nur für Bestellungen über 10.000 Ft anbietet, lautet die Bedingung: Betrag > 10000.

Übungsaufgabe