Komplexität Logischer Ausdrücke

Logische Ausdrücke können auf verschiedenen Ebenen einfach oder komplex sein. Um die Komplexität zu messen, verwenden wir mehrere Aspekte, wie die Länge der Formel, ihre Tiefe und Struktur.

Länge

Die Länge zeigt, aus wie vielen Symbolen ein Ausdruck besteht. Je mehr logische Operatoren und Variablen, desto länger ist die Formel.

Dieser Ausdruck hat 5 Symbole: p, ∨, q, ∧, r.

Tiefe

Die Tiefe gibt das Verschachteln der Klammern an. Ein einfaches p ∧ q hat Tiefe 1, während (p ∧ (q ∨ r)) Tiefe 2 hat.

Vereinfachung

Oft können komplexe Formeln mit Hilfe logischer Identitäten vereinfacht werden (z. B. De-Morgan-Gesetze, Idempotenz, Distributivität). Dies reduziert sowohl die Länge als auch die Tiefe.

Beispiel: ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q). Der ursprüngliche Ausdruck scheint länger und tiefer, aber die Identität wandelt ihn in eine einfachere Form um.

Warum ist Komplexität Wichtig?

• Computerlogische Schaltkreise sind effizienter mit einfacheren Formeln.
• Aus Sicht der Verständlichkeit ist es wichtig, dass der Ausdruck so kurz und klar wie möglich ist.
• Die Schwierigkeit der Lösung logischer Probleme hängt oft von der Komplexität der Ausdrücke ab.

Zusammenfassung

Die logische Komplexität besteht aus drei Hauptfaktoren: Länge, Tiefe und Vereinfachbarkeit. Mit diesen können wir logische Formeln besser verstehen und handhaben.

Übungsaufgabe