Eingebettete Quantoren

Wenn wir mehrere Quantoren nacheinander verwenden, sprechen wir von eingebetteten Quantoren. In solchen Fällen ist es sehr wichtig, in welcher Reihenfolge sie auftreten, da dies die Bedeutung der Aussage ändert.

Reihenfolge von ∀ und ∃

Das bedeutet: Für jedes x gibt es ein y, das größer als x ist. Das ist wahr in den reellen Zahlen.

Das bedeutet: Es gibt eine y, die größer als jede x ist. Das ist falsch, weil es keine größte Zahl gibt.

Beispiele für den Unterschied

• „Jeder Mensch hat einen Elternteil.“ → ∀x ∃y (y ist Elternteil von x).
• „Es gibt einen Menschen, der Elternteil von allen ist.“ → ∃y ∀x (y ist Elternteil von x).

Es ist klar, dass die Reihenfolge eine völlig andere Bedeutung der Aussage gibt.

Einbettung mit Mehreren Variablen

Das ist eine universelle Aussage über zwei Variablen: Für jede x und jede y gilt x + y = y + x.

Das bedeutet: Es gibt ein solches x, das für jede y erfüllt, dass x·y = y. Das ist nur für x = 1 wahr.

Zusammenfassung

Die Reihenfolge eingebetteter Quantoren ist entscheidend. ∀x ∃y und ∃y ∀x bedeuten völlig unterschiedliche Aussagen. Das Verständnis logischer Präzision erfordert ihren korrekten Einsatz.

Übungsaufgabe