Aussagen in der Logik

Die Grundlage der Logik ist die Aussage (auch Urteil genannt). Eine Aussage ist eine Erklärung, über die eindeutig festgestellt werden kann, ob sie wahr oder falsch ist. Das unterscheidet logische Aussagen von allen anderen sprachlichen Formen.

Beispiele für Aussagen

• "2 + 2 = 4" → wahre Aussage.
• "7 ist eine Primzahl" → wahre Aussage.
• "5 ist durch 3 teilbar" → falsche Aussage.

Nicht-Aussagen

Nicht jeder Satz ist eine Aussage. Wenn eine Erklärung keinen eindeutigen Wahrheitswert hat, gilt sie nicht als logische Aussage.

• "Wie heißt du?" → Frage, keine Aussage.
• "Geh raus auf den Hof!" → Aufforderung, kein Wahrheitswert.
• "Das ist schön." → subjektive Meinung, nicht eindeutig wahr oder falsch.

Wahrheitswert

Jeder Aussage wird ein Wahrheitswert zugeordnet. In der klassischen Logik gibt es nur zwei Möglichkeiten: wahr (1) oder falsch (0).

Hier bezeichnet p eine Aussage, ∈ bedeutet „ist Element von“, und {0,1} ist die Menge der Wahrheitswerte. Somit drückt p ∈ {0,1} aus, dass der Wahrheitswert einer Aussage immer entweder 0 (falsch) oder 1 (wahr) ist.

Aussagen in der Mathematik

Das gesamte mathematische System basiert auf Aussagen. Die Formulierung eines Satzes ist eine Aussage, die wir mit einem Beweis untermauern. Beispiel: „Jede Primzahl ist größer als 1.“ Dies ist eine allgemeine Aussage, die in jedem Fall wahr ist.

Zusammenfassung

Eine Aussage ist jede Erklärung, die einen eindeutigen Wahrheitswert hat. In der klassischen Logik ist dieser Wahrheitswert entweder wahr (1) oder falsch (0). Nicht-Aussagen wie Fragen oder Aufforderungen bilden kein Objekt der logischen Untersuchung.

Übungsaufgabe