Quantoren
In Prädikaten wollen wir oft nicht nur eine Aussage über einen spezifischen Wert machen, sondern über alle oder mindestens einen. Dafür verwenden wir Quantoren.
Universeller Quantor (∀)
Bedeutung: „P(x) ist für alle x wahr“. Das heißt, das Prädikat ist für jeden möglichen Wert wahr.
Beispiel: ∀x: „x^2 ≥ 0“. Das Quadrat jeder Zahl ist nichtnegativ, daher ist dies eine universelle Aussage.
Existentieller Quantor (∃)
Bedeutung: „es existiert mindestens ein x, für das P(x) wahr ist“. Das heißt, es gibt einen Wert, bei dem das Prädikat wahr ist.
Beispiel: ∃x: „x > 10“. Dies ist wahr, weil z. B. x = 11 passt.
Kombination von Quantoren
Das bedeutet: Für jedes x existiert ein y, das größer als es ist. Dies ist wahr, weil für jede Zahl eine größere gefunden werden kann.
Negation und Quantoren
- ¬(∀x P(x)) ≡ ∃x ¬P(x) → wenn nicht alles wahr ist, dann gibt es ein Gegenbeispiel.
- ¬(∃x P(x)) ≡ ∀x ¬P(x) → wenn es kein solches gibt, dann ist es überall falsch.
Zusammenfassung
Mit Quantoren können wir allgemeine und Existenzaussagen formulieren. Die zwei grundlegenden Quantoren: ∀ (alle) und ∃ (existiert).
Übungsaufgabe
Wir haben die Materialien überprüft, dennoch können Fehler vorkommen. Der Inhalt dient ausschließlich Bildungszwecken, daher verwende ihn auf eigene Verantwortung und überprüfe ihn bei Bedarf mit anderen Quellen.
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