Quantoren

In Prädikaten wollen wir oft nicht nur eine Aussage über einen spezifischen Wert machen, sondern über alle oder mindestens einen. Dafür verwenden wir Quantoren.

Universeller Quantor (∀)

Bedeutung: „P(x) ist für alle x wahr“. Das heißt, das Prädikat ist für jeden möglichen Wert wahr.

Beispiel: ∀x: „x^2 ≥ 0“. Das Quadrat jeder Zahl ist nichtnegativ, daher ist dies eine universelle Aussage.

Existentieller Quantor (∃)

Bedeutung: „es existiert mindestens ein x, für das P(x) wahr ist“. Das heißt, es gibt einen Wert, bei dem das Prädikat wahr ist.

Beispiel: ∃x: „x > 10“. Dies ist wahr, weil z. B. x = 11 passt.

Kombination von Quantoren

Das bedeutet: Für jedes x existiert ein y, das größer als es ist. Dies ist wahr, weil für jede Zahl eine größere gefunden werden kann.

Negation und Quantoren

• ¬(∀x P(x)) ≡ ∃x ¬P(x) → wenn nicht alles wahr ist, dann gibt es ein Gegenbeispiel.
• ¬(∃x P(x)) ≡ ∀x ¬P(x) → wenn es kein solches gibt, dann ist es überall falsch.

Zusammenfassung

Mit Quantoren können wir allgemeine und Existenzaussagen formulieren. Die zwei grundlegenden Quantoren: ∀ (alle) und ∃ (existiert).

Übungsaufgabe