Beweismethoden

Einer der wichtigsten Teile der Mathematik und Logik ist der Beweis. Ein Beweis ist der Prozess, durch den wir zeigen, dass eine Aussage notwendigerweise wahr ist. Dafür gibt es mehrere Methoden.

Direkter Beweis

Beim direkten Beweis gehen wir von bekannten wahren Aussagen durch eine Folge logischer Schritte zur zu beweisenden Aussage über.

• Prämisse: Jede gerade Zahl ist durch zwei teilbar.
• Zu beweisen: 8 ist durch zwei teilbar.
• Schritte: 8 ist eine gerade Zahl → daher durch zwei teilbar.

Beweis durch Kontraposition

Die Aussage „wenn p, dann q“ kann auch dadurch bewiesen werden, dass wir die äquivalente Form „wenn nicht q, dann nicht p“ beweisen.

Beispiel: „Wenn eine Zahl durch 4 teilbar ist, dann durch 2.“ Kontraposition: „Wenn eine Zahl nicht durch 2 teilbar ist, dann nicht durch 4.“

Indirekter Beweis (durch Widerspruch)

Beim indirekten Beweis nehmen wir an, dass die Aussage falsch ist, und leiten dann einen Widerspruch daraus ab. Daher muss die Aussage wahr sein.

Beispiel: Beweisen wir, dass √2 irrational ist. Nehmen wir das Gegenteil an: dass √2 rational ist. Dann lässt es sich als a/b schreiben, wobei a und b ganze Zahlen ohne gemeinsamen Teiler sind. Aus der Ableitung ergibt sich ein Widerspruch, daher kann √2 nicht rational sein.

Zusammenfassung

• Direkter Beweis: Wir gelangen durch logische Schritte zur gewünschten Aussage.
• Kontraposition: Wir beweisen die äquivalente Form der Aussage.
• Indirekter Beweis: Wir leiten einen Widerspruch aus der Negation der Aussage ab.

Übungsaufgabe