Mathematische Induktion

Die mathematische Induktion ist eine Beweismethode, mit der wir zeigen, dass eine Aussage für jede natürliche Zahl gilt. Sie ist besonders nützlich beim Beweis von Summenformeln, Reihen und Teilbarkeitsaussagen.

Schritte der Induktion

• 1. Basisfall: Überprüfen Sie die Aussage für die erste Zahl (meist n=1).
• 2. Induktionsannahme: Nehmen Sie an, dass die Aussage für n gilt.
• 3. Induktionsschritt: Beweisen Sie, dass, wenn sie für n gilt, sie auch für n+1 gilt.

Einfaches Beispiel

Beweisen Sie, dass die Summe der ersten n natürlichen Zahlen durch die folgende Formel gegeben ist:

1. Basisfall: Für n=1, linke Seite = 1, rechte Seite = 1·(1+1)/2 = 1 → wahr. 2. Nehmen Sie an, dass es für n gilt. 3. Induktionsschritt: Durch Hinzufügen von n+1 gilt die Formel auch für n+1. Damit haben wir die Aussage für alle n bewiesen.

Allgemeines Schema

Das Wesen des induktiven Beweises ist, dass wir den Beweis nicht für jede n separat durchführen müssen: Es reicht, den Basisfall und den Induktionsschritt zu beweisen, und er gilt automatisch für alle weiteren Fälle.

Wann verwenden?

• Beim Beweis von Summenformeln.
• Bei Teilbarkeitseigenschaften (z. B. eine Zahl ist immer durch etwas teilbar).
• Zur Überprüfung der Korrektheit rekursiver Definitionen.
• In Sätzen der Zahlentheorie.

Zusammenfassung

Mit der Methode der mathematischen Induktion können wir zeigen, dass eine Aussage für jede natürliche Zahl gilt. Sie hat zwei Hauptteile: Basisfall und Induktionsschritt. Dies ist eine der wichtigsten Beweistechniken in der Mathematik.

Übungsaufgabe