Relationen in der Logik

Relationen beschreiben Verbindungen zwischen zwei oder mehr Objekten. Mathematisch ist eine Relation eine Menge geordneter Paare.

Beispiel einer Relation

Diese Relation sagt: R enthält alle Paare (x,y), bei denen x kleiner als y ist.

Beispiel: (2,5) ∈ R ist wahr, weil 2 < 5. Aber (7,3) ∉ R, weil 7 nicht kleiner als 3 ist.

Eigenschaften von Relationen

• Reflexiv: Jedes Element steht in Relation zu sich selbst. Beispiel: "≤"-Relation, weil x ≤ x immer wahr ist.
• Symmetrisch: Wenn x mit y in Relation steht, dann steht y mit x in Relation. Beispiel: "=".
• Transitiv: Wenn x mit y in Relation steht und y mit z, dann steht x mit z in Relation. Beispiel: "<".
• Antisymmetrisch: Wenn x mit y und y mit x in Relation steht, dann ist x = y. Beispiel: "≤".

Relationen in der Mengenlehre

Formal ist eine Relation auf einer Menge X eine Teilmenge des kartesischen Produkts X × X. Das bedeutet, die Relation besteht aus geordneten Paaren, die angeben, wie die Elemente zueinander stehen.

Zusammenfassung

Relationen beschreiben Verbindungen zwischen Objekten. Wichtige Eigenschaften sind Reflexivität, Symmetrie, Transitivität und Antisymmetrie.

Übungsaufgabe