Einführung in die Logik

Logik ist die Wissenschaft des korrekten Denkens und Schließens. Sie hilft zu bestimmen, ob ein Argument gültig ist, ein Beweis korrekt ist oder eine Aussage wahr oder falsch ist. Sie ist das Fundament fast jedes Bereichs der Mathematik und Informatik.

Was ist eine Aussage?

In der Logik wird eine Aussage (Urteil) jede Erklärung genannt, über die eindeutig bestimmt werden kann, ob sie wahr oder falsch ist.

• “2+2=4” → wahre Aussage
• “Die Sonne ist blau” → falsche Aussage
• “Öffne das Fenster!” → keine Aussage, weil kein Wahrheitswert

Wahrheitswert

Jeder Aussage wird ein Wahrheitswert zugeordnet: WAHR (1) oder FALSCH (0). Dies ist die Grundlage der zweiwertigen Logik, die von George Boole im 19. Jahrhundert entwickelt wurde. Mit Wahrheitswerten können wir komplexere Aussagen untersuchen.

Das Symbol p bezeichnet eine Aussage, ∈ drückt 'ist Element von' aus, und {0,1} ist die Menge der Wahrheitswerte (0 = falsch, 1 = wahr). Somit bedeutet p ∈ {0,1}, dass der Wahrheitswert jeder Aussage nur zwei Arten haben kann: wahr oder falsch.

Warum ist Logik wichtig?

• In der Mathematik: jeder Beweis ruht auf logischen Grundlagen.
• In der Informatik: Bedingte Anweisungen in Programmen basieren auf logischen Ausdrücken.
• Im Alltag: Unsere Entscheidungen basieren oft auf Schlussfolgerungen.

Einfache Beispiele

Betrachten wir die Aussage: 'Wenn es regnet, wird die Straße nass.' Dies ist eine logische Verbindung, deren Gültigkeit wir anhand von Wahrheitswerten untersuchen können. Mit den Werkzeugen der Logik können wir die Konsequenzen klar beschreiben.

Zusammenfassung

Die Grundlagen der Logik sind Aussagen und ihre Wahrheitswerte. Darauf bauen alle weiteren Themen auf: logische Operationen, Wahrheitstafeln, Beweismethoden, Prädikatenlogik und Quantoren. Dieses Einführungskapitel zeigt, warum logisches Denken in Mathematik und Informatik unverzichtbar ist.

Übungsaufgabe