Modelle in der Logik

In der Logik beschreiben Modelle, wie wir eine gegebene formale Sprache interpretieren. Die Syntax gibt die Symbole und Regeln vor, während die Semantik (Modelle) definiert, was sie bedeuten.

Syntax und Semantik

Die Syntax legt fest, wie eine korrekte Formel aufgebaut werden kann (z. B. p ∧ q, ¬p, p → q). Die Semantik sagt uns, welchen Wahrheitswert diese Formeln in einem gegebenen Modell erhalten.

Was ist ein Modell?

Ein Modell ist eine spezifische Interpretation: Wir weisen logischen Variablen Wahrheitswerte (wahr oder falsch) zu, und in der Logik ersten Orders Bedeutungen für Individuen, Funktionen und Relationen.

Beispiel: Nehmen wir an, p = 'Es regnet', q = 'Die Straße ist nass'. In einem Modell kann p wahr sein, q wahr. In einem anderen Modell p wahr, aber q falsch. Der Wert der Formel p → q variiert je nach Modell.

Erfüllbarkeit mit Modellen

Eine Formel ist erfüllbar, wenn es ein Modell gibt, in dem sie wahr ist. Wenn es kein solches Modell gibt, ist die Formel ein Widerspruch. Wenn sie in jedem Modell wahr ist, ist es eine Tautologie.

Diese Notation zeigt, dass die Formel φ in einem Modell wahr ist.

Beispiele für Modelle

• Propositionslogik: Wir weisen den Variablen einfach wahr/falsch-Werte zu.
• Logik erster Ordnung: Konstanten, Funktionen und Relationen erhalten Bedeutungen (z. B. '<'-Relation auf natürlichen Zahlen).
• Mathematische Strukturen: Modelle können Zahlmengen (ℕ, ℤ, ℝ), Graphen, Mengensysteme sein.

Warum sind Modelle wichtig?

• Sie helfen zu verstehen, wann eine Formel wahr oder falsch ist.
• Sie ermöglichen den Vergleich logischer Systeme.
• Sie sind die Grundlage der mathematischen Logik, formaler Beweise und der Analyse von Algorithmen.
• Sie schaffen eine Verbindung zwischen rein syntaktischen Formeln und Interpretationen der realen Welt.

Zusammenfassung

Logische Modelle sind Träger der Semantik: Sie legen fest, wie wir eine formale Sprache interpretieren. Eine Formel kann erfüllbar, eine Tautologie oder ein Widerspruch sein, je nachdem, in welchen Modellen sie wahr ist.

Übungsaufgabe