Logische Funktionen

Eine logische Funktion ist ein Ausdruck, der logische Variablen (wahre oder falsche Werte) als Eingabe nimmt und daraus die Ausgabe berechnet.

Definition

Formal ist eine n-variablige logische Funktion eine Abbildung von der Menge {0,1}^n auf {0,1}. Das heißt, die Eingabe ist 0 (falsch) oder 1 (wahr), und die Ausgabe ist ebenfalls 0 oder 1.

Einfache Beispiele

• f(p) = ¬p → ordnet der Eingabe 1 den Wert 0 und der Eingabe 0 den Wert 1 zu.”
• f(p,q) = p ∧ q → gibt 1 nur aus, wenn p und q beide 1 sind.
• f(p,q) = p ∨ q → gibt 1 aus, wenn mindestens eine 1 ist.

Wahrheitstabellen

Das Funktionieren logischer Funktionen kann am einfachsten mit Wahrheitstabellen demonstriert werden. Diese listen alle möglichen Eingaben und die entsprechenden Ausgaben auf.

Anzahl Logischer Funktionen

Eine n-variablige logische Funktion hat 2^(2^n) verschiedene Formen. Zum Beispiel:

• Bei 1 Variable: 4 mögliche Funktionen.
• Bei 2 Variablen: 16 mögliche Funktionen.
• Bei 3 Variablen: 256 mögliche Funktionen.

Warum Sind Sie Wichtig?

• Sie sind die Basis digitaler Schaltkreise (UND-, ODER-, NICHT-Gatter).
• Sie helfen, logische Probleme zu modellieren.
• Sie spielen eine grundlegende Rolle in der Informatik und Künstlichen Intelligenz.

Zusammenfassung

Eine logische Funktion hat Wahrheitswerte als Eingabe und gibt immer einen Wahrheitswert zurück. Jede logische Operation kann als solche Funktion interpretiert werden.

Übungsaufgabe