Bijektív reláció (Kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés)

Egy relációt vagy függvényt bijektívnek nevezünk, ha egyszerre injektív és szürjektív. Ez azt jelenti, hogy minden bemenethez pontosan egy kimenet tartozik, és minden kimenethez pontosan egy bemenet kapcsolódik.

Formális definíció

Legyen f: A → B egy leképezés. f akkor bijektív, ha:

• Injektív: ∀a₁,a₂ ∈ A, f(a₁) = f(a₂) ⇒ a₁ = a₂.
• Szürjektív: ∀b ∈ B, ∃a ∈ A: f(a) = b.

Vagyis a függvény egy-egyértelmű és teljes lefedést ad a két halmaz között.

Példák bijektív relációkra

• Az f(x) = x + 1 függvény az egész számokon: minden egész számhoz pontosan egy másik egész szám tartozik, és minden egész szám elérhető.
• Az emberekhez rendelt személyi igazolvány szám: minden emberhez egyedi szám tartozik, és minden szám pontosan egy emberhez kapcsolódik.
• Az angol ábécé betűi és a magyar ábécé első 26 betűje közötti egy-egyértelmű megfeleltetés.

Ellenpéldák (nem bijektív relációkra)

• Az f(x) = x² a valós számokon: nem injektív, mert f(2) = f(-2).
• Az országok és városok reláció: nem szürjektív, mert sok város nem főváros.
• Az emberek hajszíne reláció: nem injektív, mert több embernek is lehet ugyanaz a hajszín.

Kapcsolat a kölcsönösen egyértelmű megfeleltetéssel

A bijekció más néven kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. Ez a matematikában kulcsfontosságú, mert lehetővé teszi, hogy két halmaz elemeit páronként összerendeljük, és így azonos elemszámot állapítsunk meg közöttük. A bijektív függvények az izomorfizmusok alapját is adják különböző struktúrák között.

Összefoglalás

A bijektív reláció lényege, hogy minden bemenethez pontosan egy kimenet tartozik, és minden kimenethez pontosan egy bemenet kapcsolódik. Ez az egy-egyértelmű és teljes leképezés rendkívül fontos fogalom a matematikában és az informatikában egyaránt.

Gyakorló feladat