Ekvivalencia-reláció

Az ekvivalencia-reláció a matematikában egy olyan speciális reláció, amely három alapvető tulajdonsággal rendelkezik: reflexív, szimmetrikus és tranzitív. Ezek együtt biztosítják, hogy a reláció „egyenértékűséget” fejezzen ki a halmaz elemei között.

A fenti képlet egy sorban mutatja meg az ekvivalencia-reláció mindhárom feltételét. De érthetőbb, ha külön-külön is leírjuk a három tulajdonságot.

Ez a reflexivitás: minden elem kapcsolatban áll önmagával.

Ez a szimmetria: ha a kapcsolatban áll b-vel, akkor b is kapcsolatban áll a-val.

Ez a tranzitivitás: ha a kapcsolatban áll b-vel és b c-vel, akkor a kapcsolatban áll c-vel is.

Példák ekvivalencia-relációkra

• A páros-páratlan reláció az egész számokon: két szám ekvivalens, ha azonos a paritásuk.
• A kongruencia modulo n az egész számokon: a ≡ b mod n, ha n osztható (a - b)-vel.
• Az azonos születésnap reláció emberek között: két ember ekvivalens, ha ugyanazon a napon születtek.

Ellenpéldák (nem ekvivalencia-relációk)

• A kisebb mint (<) reláció a természetes számokon: nem reflexív (nincs szám kisebb önmagánál).
• A szülője reláció emberek között: nem szimmetrikus (ha A a B szülője, B nem A szülője).
• A barátja reláció emberek között: nem tranzitív (ha A barátja B-nek és B C-nek, A nem feltétlenül C barátja).

Ekvivalenciaosztályok

Egy ekvivalencia-reláció a halmaz elemeit ekvivalenciaosztályokra bontja. Egy ekvivalenciaosztály minden olyan elemet tartalmaz, amelyek ekvivalensek egymással. Ezek az osztályok kölcsönösen diszjunktak és együtt lefedik az egész halmazt.

Például az „azonos maradék mod 3” reláció az egész számokat három osztályra bontja: {…, -6, -3, 0, 3, 6, …}, {…, -5, -2, 1, 4, 7, …}, {…, -4, -1, 2, 5, 8, …}.

Összefoglalás

Az ekvivalencia-reláció tehát olyan reláció, amely reflexív, szimmetrikus és tranzitív. Ezek a tulajdonságok biztosítják, hogy a halmaz elemei „egyenértékű csoportokra”, azaz ekvivalenciaosztályokra oszthatók. Ez a fogalom központi szerepet játszik a matematikában, mert számos struktúra és fogalom erre épül.

Gyakorló feladat