Partíciók

A matematikában egy halmaz partíciója azt jelenti, hogy a halmaz elemeit szétosztjuk kisebb, nem üres részekre úgy, hogy minden elem pontosan egy részbe kerüljön, és együtt ezek a részek lefedjék az egész halmazt. Másképp: a partíció az egész halmazt 'felosztja' diszjunkt csoportokra.

A partíció elemeit 'részhalmazoknak' vagy 'blokkoknak' nevezzük. Minden elem pontosan egy blokkba tartozik, nem lehet egyszerre kettőbe, és nem maradhat ki egyetlen elem sem.

Formális definíció

Legyen A egy halmaz. Egy P partíció A-n akkor, ha P halmazok egy gyűjteménye, amelyre teljesülnek a következők:

• Minden rész nem üres: ∀ S ∈ P, S ≠ ∅.
• A részek diszjunktak: ∀ S, T ∈ P, ha S ≠ T, akkor S ∩ T = ∅.
• A részek uniója A: ∪_{S ∈ P} S = A.

Hétköznapi példák

• A diákok osztályokba sorolása: minden osztály egy rész, a diákok nem lehetnek két osztályban, és minden diák be van sorolva.
• Gyümölcsök típusonként kosarakba rendezése: almák egyikbe, narancsok másikba – nincs átfedés, teljes lefedés.
• Egy torta szeletekre vágása: minden szelet egy rész, nem marad szelet ki, nincs átfedés.

Matematikai példák

• {1,2,3,4} halmaz partíciója {{1,2}, {3,4}}-re: két rész, diszjunkt, lefedik az egészet.
• Singleton partíció: {{1}, {2}, {3}, {4}} – minden elem saját részben.
• Triviális partíció: {{1,2,3,4}} – az egész halmaz egy részként.

Kapcsolat az ekvivalencia-relációkkal

Szoros kapcsolat van az ekvivalencia-relációk és a partíciók között. Minden ekvivalencia-reláció egy partíciót határoz meg: az ekvivalenciaosztályok a partíció részei, ahol két elem ugyanabba a részbe tartozik, ha ekvivalensek.

Fordítva, minden partíció definiál egy ekvivalencia-relációt: két elem ekvivalens, ha ugyanabba a részbe tartoznak.

Ezért az ekvivalencia-relációk és partíciók ugyanannak a matematikai jelenségnek két oldalát jelentik: az egyik a kapcsolatok nyelvén, a másik a halmazok felosztásának nyelvén fejezi ki az egyenértékűséget.

Összefoglalás

A partíció egy halmaz elemeinek olyan felosztása, ahol nincs átfedés és nincs kimaradó elem. Ez szorosan összefügg az ekvivalencia-relációkkal: minden ekvivalencia-reláció egy partíciót határoz meg, és minden partícióhoz tartozik egy ekvivalencia-reláció.

Gyakorló feladat