Reláció inverze (Converse)

Egy reláció inverzének (angolul: converse vagy inverse relation) azt nevezzük, amikor a reláció minden rendezett párját felcseréljük. Ha az (a,b) ∈ R, akkor (b,a) ∈ R⁻¹.

Formális definíció

Az inverz reláció tehát minden kapcsolatot megfordít. Ha például az 'A barátja B-nek' relációban benne van (A,B), akkor az inverzben benne lesz (B,A).

Példák reláció inverzére

• Ha R a „<” reláció az egész számokon, akkor R⁻¹ a „>” reláció.
• Ha R a „szülője” reláció emberek között, akkor R⁻¹ a „gyermeke” reláció.
• Ha R a „tanára” reláció a diákok és tanárok között, akkor R⁻¹ a „diákja” reláció.

Tulajdonságok

• Az inverz reláció inverze mindig az eredeti reláció: (R⁻¹)⁻¹ = R.
• Ha egy reláció szimmetrikus, akkor megegyezik a saját inverzével.
• Ha egy reláció tranzitív, az inverze is tranzitív.
• Az inverz gyakran más jelentést ad a kapcsolatoknak (pl. szülője ↔ gyermeke).

Ellenpéldák és félreértések

Fontos különbséget tenni a reláció inverze és a reláció komplementere között. Az inverz egyszerűen a párok sorrendjét cseréli fel, míg a komplementer az összes olyan párt tartalmazza, ami nincs benne az eredeti relációban.

Összefoglalás

Egy reláció inverze az összes kapcsolat irányát megfordítja. Ez különösen fontos a matematikában és az informatikában, ahol a kapcsolatok gyakran irányított élek formájában jelennek meg gráfokban. Az inverz relációk segítenek megérteni a kapcsolatok szimmetriáját és irányultságát.

Gyakorló feladat