Relációs algebra

A relációs algebra a relációk kezelésére szolgáló formális rendszer. Segítségével különféle műveleteket végezhetünk relációkon, hasonlóan ahhoz, ahogy a halmazokon végezhetünk uniót, metszetet vagy különbséget. A műveletek eredménye mindig újabb reláció, tehát a relációk halmazán belül maradunk (lezártság).

Alapműveletek

• Unió: R ∪ S = { (a,b) | (a,b) ∈ R vagy (a,b) ∈ S }. Csak akkor értelmezett, ha R és S azonos univerzumból származnak.
• Metszet: R ∩ S = { (a,b) | (a,b) ∈ R és (a,b) ∈ S }.
• Különbség: R - S = { (a,b) | (a,b) ∈ R és (a,b) ∉ S }.
• Komplementer: R^c = az összes olyan pár, ami az univerzumban van, de nincs R-ben.
• Kompozíció: R ○ S = { (a,c) | ∃ b: (a,b) ∈ R és (b,c) ∈ S }.

Példa

Legyen R = { (1,2), (2,3) }, S = { (3,4) }, univerzum U = {1,2,3,4} × {1,2,3,4}.

• R ∪ S = { (1,2), (2,3), (3,4) }.
• R ∩ S = ∅.
• R - S = { (1,2), (2,3) }.
• R ○ S = { (2,4) } mert (2,3) ∈ R és (3,4) ∈ S.

Tulajdonságok

• A műveletek lezárottak a relációk halmazán.
• Az unió és metszet kommutatív és asszociatív.
• A kompozíció asszociatív, de általában nem kommutatív.
• A komplementer a De Morgan-szabályok szerint viselkedik.

Összefoglalás

A relációs algebra formális eszközt ad a relációk kezelésére. Alapműveletei lehetővé teszik a relációk kombinálását, szűrését és átalakítását, ami a matematikában és az adatbázisok világában is központi jelentőségű.

Gyakorló feladat